Exercícios Resolvidos de Construindo Matrizes e TLs

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Enunciado

Determine a transformação linear T : R 3 → R 3 tal que 2 , 1,1 e 0,1 , 2 são vetores do K e r T e 2,0 , - 2 é autovetor associado ao autovalor 3 .

Passo 1

Bom primeiramente, temos que:

2,1 , 1 , 0,1 , 2 , 2,0 , - 2

É uma base do R 3 . Os vetores associados ao núcleo (autovalor 0 ) não estão na mesma reta, e como 2,0 , - 2 é autovetor associado ao autovalor 3 , isso nos garante que ele é L I em relação aos outros 2 . Repare então que temos uma base de autovetores e, portanto, a matriz que representa T na base canônica é diagonalizável! Temos que:

T = P D P - 1 = 2 0 2 1 1 0 1 2 - 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 0 2 1 1 0 1 2 - 2 - 1

Resolvendo esse produto, você encontra a matriz de T e daí é mole achar T . Vamos encontrar a inversa:

2 0 2 1 1 0 1 2 - 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 1 ← L 1 2 1 0 1 1 1 0 1 2 - 2 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 2 ← L 2 - L 1   L 3 ← L 3 - L 1 1 0 1 0 1 - 1 0 2 - 3 1 2 0 0 - 1 2 1 0 - 1 2 0 1 → L 3 ← L 3 - 2 L 2 1 0 1 0 1 - 1 0 0 - 1 1 2 0 0 - 1 2 1 0 1 2 - 2 1 → L 3 ← - L 3 1 0 1 0 1 - 1 0 0 1 1 2 0 0 - 1 2 1 0 - 1 2 2 - 1

Repare que agora só vamos fazer operações pra cima, então a última linha da matriz inversa já está pronta. Tá, e aí? E aí que é só dela que precisamos! Se liga:

T = 2 0 2 1 1 0 1 2 - 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3 * * * * * * - 1 2 2 - 1 = 0 0 6 0 0 0 0 0 - 6 * * * * * * - 1 2 2 - 1 = - 3 12 - 6 0 0 0 3 - 12 6

Pronto! Então:

T x , y , z = - 3 x + 12 y - 6 z , 0,3 x - 12 y + 6 z

Passo 2

Outra maneira seria usando aquele método clássico. Temos a T L aplicada numa base do domínio:

T 2,1 , 1 = 0,0 , 0

T 0,1 , 2 = 0,0 , 0

T 2,0 , - 2 = 6,0 , - 6

Como qualquer vetor do R 3 pode ser escrito em dunção dessa base:

x , y , z = a 2,1 , 1 + b 0,1 , 2 + c 2,0 , - 2

Encontrando os coeficientes em função de x , y e z :

2 a + 2 c = x a + b = y a + 2 b - 2 c = z       I I I I I I

Fazendo 2 I I - I I I :

a + 2 c = 2 y - z       I V

Fazendo 2 I V - I :

2 c = - x + 4 y - 2 z

c = - x + 4 y - 2 z 2

Repare que nesse caso só estamos interessados no c , já que os outros vão zerar:

T x , y , z = a T 2,1 , 1 + b T 0,1 , 2 + c T 2,0 , - 2

T x , y , z = c 6,0 , - 6

T x , y , z = - x + 4 y - 2 z 2 6,0 , - 6

T x , y , z = - 3 x + 12 y - 6 z , 0,3 x - 12 y + 6 z

Resposta

T x , y , z = - 3 x + 12 y - 6 z , 0,3 x - 12 y + 6 z