Exercícios Resolvidos de Coordenadas de um Vetor em uma Base Ortogonal

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Enunciado

Sejam T : R 3 ⟶ R uma transformação linear e { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } uma base ortonormal de R 3 .

( a ) O que significa um subconjunto { w 1 , … , w k } ser ortonormal?

( b ) Mostre que para todo u ∈ R 3 vale:

u = u , v 1 . v 1 + u , v 2 . v 2 + u , v 3 . v 3

( c ) Sejam a i = T v i ,   i = 1 , 2,3 e u ∈ R 3 . Mostre que

T u = 〈 u , a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 〉

( d ) Mostre que ou T é a transformação nula ou T é sobrejetiva.

Passo 1

Letra ( a )

Significa que w i , w j = 0 se i ≠ j e w i , w j = 1 , para todo i = j em 1 , … , k .

Se você ficou confuso com toda essa notação, não tem problema algum escrever isso com o bom e velho português. Basta você escrever que o produto interno é zero para vetores diferentes entre si, e que todos os vetores possuem a norma igual a 1 .

Passo 2

Letra ( b )

Temos que provar que u = u , v 1 . v 1 + u , v 2 . v 2 + u , v 3 . v 3

Mas o que exatamente ele quis dizer?? Basta você perceber que os coeficientes são da forma:

a 1 = u , v 1 ,     a 2 = u , v 2 ,     a 3 = 〈 u , v 3 〉

Sabendo que u = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 . Generalizando, queremos saber que um vetor u , qualquer, pode ser escrito com C L de uma base ortonormal, com os coeficientes dessa base, sendo o produto interno desse vetor com o vetor de cada base. Matematicamente é isso aqui:

a j = u , v j ,     j = 1,2 , 3

Passo 3

Agora que já sabemos aonde queremos chegar, vamos começar. Vamos desenvolver o lado esquerdo e chegar ao lado direito. Mas vamos desenvolver apenas o u ??? Sim. Mas como??

Lembre-se que qualquer vetor pode ser escrito como C L de uma base, então:

u = b 1 v 1 + b 2 v 2 + b 3 v 3

Aplicando o produto interno dos dois lados com um vetor v j :

u , v j = b 1 v 1 + b 2 v 2 + b 3 v 3 ,   v j ⇒

u , v j = b 1 v 1 ,   v j + b 2 v 2 ,   v j + b 3 v 3 ,   v j ,     j = 1,2 , 3

Passo 4

Entretanto, estamos esquecendo de uma coisa! Esse v j é algum dos vetores da base! Então, certamente não podemos zerar todos, já que todo mundo é ortogonal 2 a 2 . E, assim, como v j é v 1 ,   v 2 ,   v 3 , existe um vetor correspondente a ele que não ira zerar o produto interno, pois o produto interno de um vetor com ele mesmo não dá zero se ele não for o vetor nulo.

Logo, podemos reescrever como:

u , v j = b j 〈 v j , v j 〉

Mas como a base é ortoNORMAL:

u , v j = b j v j , v j = b j . 1 = b j ⇒

b j = u , v j ,     j = 1,2 , 3

Substituindo na primeira equação:

u = u , v 1 v 1 + u , v 2 v 2 + u , v 3 v 3

Passo 5

Letra ( c )

Para fazer esse item, precisaremos usar o que provamos na letra anterior. Assim, vamos desenvolver o lado esquerdo, de novo, e chegar no lado direito:

Então temos que desenvolver T ( u ) . E usando os conhecimentos da questão anterior, podemos fazer:

u = u , v 1 v 1 + u , v 2 v 2 + u , v 3 v 3

Pela linearidade de T : (lembre-se que o produto interno é um número como qualquer outro)

T u = u , v 1 T v 1 + u , v 2 T ( v 2 ) + u , v 3 T v 3

Passo 6

Agora usando a hipótese que a i = T v i ,   i = 1 , 2,3 .

T u = u , v 1 a 1 + u , v 2 a 2 + u , v 3 a 3

Usando as propriedades do produto interno, podemos juntar todo mundo:

T u = u , a 1 v 1 + u , a 2 v 2 + u , a 3 v 3

T u = 〈 u ,   a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 〉

Passo 7

Letra ( d )

Para resolver este item, temos que usar de novo a questão anterior.

Sabendo que T u = 〈 u , a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 〉

Vamos ver aonde T u = 0 .

T u = u , a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3   = 0

Como sabemos que u não é ortogonal à { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } , já que u é uma C L desses vetores, o único jeito de zerarmos é com:

u = 0

ou

a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 = 0

Passo 8

Para a primeira opção, se u = 0 ⇒ N u c T = 0 ⇒ dim ⁡ N u c T = 0 . Pelo TNI, dim ⁡ I m T = dim ⁡ R 3 = 3 . O que é um absurdo, pois sabemos que T : R 3 ⟶ R , e que a imagem está contida no contradomínio. Logo, não é possível que u = 0 .

Para a segunda, sabemos que { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } é L I , no que implica que a 1 = a 2 = a 3 = 0 . Então, T u = 〈 u , 0 〉 = 0 , ou seja, quando os coeficientes são nulos, a transformação é nula.

Passo 9

Agora vamos supor que u ≠ 0 e que pelo menos a 1   ou a 2   ou   a 3 seja diferente de zero. Assim, sabemos que T u ≠ 0 e, por isso, dim ⁡ I m T ≥ 1 . Mas como o contradomínio é R , então a dimensão da imagem tem que ser NO MÁXIMO 1 . E, portanto, é sobrejetiva.

Resposta

( a ) Significa que w i , w j = 0 se i ≠ j e w i , w j = 1 , para todo i = j em 1 , … , k .

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