Exercícios Resolvidos de Coordenadas Polares, Tangenciais e Normais

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Enunciado

Um motorista que dirige ao longo de um trecho de reta de uma rodovia diminui a velocidade de seu automóvel para uma taxa constante antes de sair da rodovia em direção a uma rampa de saída circular com raio de 168   m . Ele continua a desaceleração com a mesma taxa constante de tal forma que, 10   s   após ter entrado na rampa, sua velocidade escalar diminuiu para 32   k m / h , uma velocidade escalar que ele, então, mantém. Sabendo que a essa velocidade constante a aceleração total do carro é igual a um quarto de seu valor antes de entrar na rampa, determine o valor máximo da aceleração total do carro.

Passo 1

Como temos um trecho circular, vamos usar a abordagem com coordenadas tangenciais e normais. Para isso, vamos usar a expressão:

a → = v ˙ 2 + v 2 ρ 2 = a t 2 + a n 2

Passo 2

Durante toda a frenagem a aceleração tangencial é constante, porque ele diz que o piloto diminui a velocidade com uma taxa constante. Então o valor máximo para a aceleração acontece no ponto onde a componente normal é máxima.

Como a trajetória é circular, o raio de curvatura é constante e igual a R = 168   m . Então, a componente normal será máxima quando v for máximo.

Agora onde isso ocorre? Lembra que estamos freando o carro? Então a velocidade máxima ocorre no ponto inicial, ou seja, imediatamente depois que ele entra na curva!

Resumindo, precisamos descobrir o valor de v ˙ e da velocidade no ponto de entrada da curva!

Passo 3

Depois que ele fica com velocidade constante a gente tem:

a t = v ˙ = 0       →       a → t = 10 = a n = v 2 ρ

Como a trajetória é circular ρ = R = 168   m . Além disso, ele contou que nesse ponto

v = 32   k m / h ≈ 8 , 9   m / s

Logo,

a → t = 10 = 0 , 472   m / s 2

Passo 4

Como o enunciado nos disse:

a → t = 10 = 1 4 a → t = 0       →       a → t = 0 = 1 , 9   m / s 2

Passo 5

Antes dele frear o carro, ele estava num trecho reto. Isso é o mesmo que dizer que ρ = ∞ , ou seja:

a n = 0     →     a → t = 0 = a t = - 1 , 9   m / s 2

O sinal de menos é porque estamos freando! Então, temos que

v ˙ = - 1 , 9       →       v t = - 1 , 9 t + β

Passo 6

Para t = 10 s   , temos que v = 8 , 9   m / s , então:

β = 27 , 9   m / s

Assim,

v t = - 1 , 9 t + 27 , 9

E no início da curva, t = 0 :

v 0 = 27 , 9   m / s

Passo 7

Então, a aceleração máxima ocorre imediatamente depois que ele entra na curva e vale:

a → m á x = v ˙ 2 + v 0 2 R 2

a → m á x = - 1.9 2 + 27.9 2 168 2 = 5   m / s 2

Resposta

a → m á x = 5   m / s 2

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