Exercícios Resolvidos de Coordenadas Polares, Tangenciais e Normais

Ver Teoria

Enunciado

03) Sabendo que um ponto P se move de acordo com a equação

P - O t = r → t = e t i → + e - t j → + t k →

Pede-se determinar, para o instante t=1s:

a) a expressão intrínseca da velocidade de P ;

b) os versores do triedro de Frenet (tangente, normal e binormal)

Passo 1

Faaala galera, tudo certo com vocês?

Temos aqui uma questão bem direta envolvendo o triedro de Frenet. Basicamente, é dado o vetor posição de um ponto P que está se movimentando, e devemos analisar a velocidade e outras grandezas quando t = 1 s .

a) Pra começar, devemos determinar a expressão intrínseca da velocidade de P quando t = 1 s .

Mas, antes de tudo, o que é essa tal de expressão intrínseca da velocidade?

Bem resumidamente, é a expressão da velocidade em função do vetor tangente de Frenet, τ → ( t ) . Lembra que:

τ → t = v → t v → t

Daí, só isolando v → ( t ) , temos:

v → t = τ → t v → t

Aqui, temos t = 1 . Então, a expressão intrínseca é simplesmente:

v → 1 = v → 1 ⋅ τ → ( 1 )

Show! Agora que sacamos essa ideia, bora usar o vetor posição pra calcular a velocidade em coordenadas cartesianas. Sabemos que:

d r → t d t = v → t

Logo:

v → t = d e t i → + e - t j → + t k → d t

∴ v → t = e t i → - e - t j → + k →  

Fazendo t = 1 , vem:

v → 1 = e i → - e - 1 j → + k →

Daí, tirando o módulo temos:

v → 1 = e 2 + - e - 1 2 + 1 2

v → 1 = e 2 + e - 2 + 1

Prontinho. Agora é só finalizar:

v → 1 = e 2 + e - 2 + 1 ⋅ τ → 1

Aeee, conseguimos. Boa galera!

Passo 2

b) Agora devemos determinar, para t = 1 s , os versores do triedro de frenet ( τ → 1 ,   b → ( 1 ) e n → ( 1 ) ) .  

Bora começar pelo vetor tangente. Como vimos antes:

τ ^ 1 = v → 1 v → 1

Daí:

Substituindo os dados que encontramos no item a), temos:

τ ^ 1 = e i → - e - 1 j → + k → e 2 + e - 2 + 1  

Fooi!!

Vamos para o vetor binormal b → ( 1 ) . Sabemos que:

b → t = v → t × a → ( t )

Já sabemos que:

v → t = e t i → - e - t j → + k →  

Pra calcular a → ( t ) podemos usar novamente a relação cinemática:

a → t = d v → t d t

Assim:

a → t = d e t i → - e - t j → + k → d t

⇒ a → t = e t i → + e - t j → + 0 k →

Assim, para t = 1 s , temos:

a → 1 = e i → + e - 1 j →

Top! Então bora substituir pra calcular o vetor binormal de frenet:

b → 1 = v → 1 × a → 1

⇒ b → 1 = e i → - e - 1 j → + k → × ( e i → + e - 1 j → )

A melhor forma de fazer esse produto vetorial sem se confundir, é usando uma matriz. Daí:

b → 1 = i → j → k → e - e - 1 1 e e - 1 0

b → 1 =   - e - 1 i → + e j → + 2 k →

Como o enunciado nos pede o versor binormal, temos:

b ^ 1 = b → 1 b → 1

⇒ b ^ 1 = - e - 1 i → + e j → + 2 k → - e - 1 2 + e 2 + 2 2

∴ b ^ 1 = - e - 1 i → + e j → + 2 k → e - 2 + e 2 + 4

Agora simmm! Bouaaa!

Passo 3

Falta só um, o versor normal n → ( t ) . Sabemos que:

n → t = b → t ×   τ → ( t )

Como queremos em t = 1 s , devemos fazer:

n → 1 = b → 1 × τ → 1

∴ n → 1 = - e - 1 i → + e j → + 2 k → × e i → - e - 1 j → + k →  

Vamo usar de novo o truque da matriz:

n → 1 = i → j → k → - e - 1 e 2 e - e - 1 1  

⇒ n → 1 = e + 2 e - 1 i → + 2 e + e - 1 j → + e - 2 - e 2 k →

Como queremos o versor normal, devemos dividir pelo módulo. Daí:

n ^ 1 = n → 1 n → 1

n ^ 1 = e + 2 e - 1 i → + 2 e + e - 1 j → + e - 2 - e 2 k → e + 2 e - 1 2 + 2 e + e - 1 2 + e - 2 - e 2 2

Muita conta né? Vamos com cuidado pra não errar nada!

e + 2 e - 1 2 + 2 e + e - 1 2 + e - 2 - e 2 2 = e 2 + 4 + 4 e - 2 + 4 e 2 + 4 + e - 2 + e - 4 - 2 + e 4  

= e 4 + 5 e 2 + 6 + 5 e - 2 + e - 4

Portanto, finalmente chegamos que:

n ^ 1 = e + 2 e - 1 i → + 2 e + e - 1 j → + e - 2 - e 2 k → e 4 + 5 e 2 + 6 + 5 e - 2 + e - 4  

Prontinho, galera! Ficou feinho, mas é isso mesmo 😊

Espero que vocês tenham entendido bem!

Resposta

a)

e 2 + e - 2 + 1 ⋅ τ → 1

b)

τ ^ 1 = e i → - e - 1 j → + k → e 2 + e - 2 + 1  

b ^ 1 = - e - 1 i → + e j → + 2 k → e - 2 + e 2 + 4

n ^ 1 = e + 2 e - 1 i → + 2 e + e - 1 j → + e - 2 - e 2 k → e 4 + 5 e 2 + 6 + 5 e - 2 + e - 4

Exercícios de Livros Relacionados

Quando o carro chega ao ponto A, ele tem velocidade escalar de 25m / s . Se os freios são acionados, sua velocidade escalar é reduzida em a t = - 1 4 t 1 2m / s 2 . Determine a intensidade da aceleraç
Um carro move-se ao longo de uma curva circular de raio r = 90 m. No instante mostrado, a sua taxa angular de rotação é θ ˙ = 0,4r a d / s , a qual está aumentando a uma taxa de θ ¨ = 0,2r a d / s 2 .
Se o carrinho da montanha-russa parte do repouso em A e sua velocidade escalar aumenta em a t = 6 - 0,06 sm / s 2 , determine a intensidade da sua aceleração quando ela alcança B onde s B = 40m .
O carro está viajando a uma velocidade escalar de 30m / s . O motorista aciona os freios em A e, assim, reduz a velocidade escalar do carro a uma razão de a t = - t / 8m / s 2 , onde t é dado em s . D
2/115) Na parte inferior A da acrobacia aérea na qual o avião descreve um círculo em um plano vertical , o módulo da aceleração total do avião é de 3 g . Se a velocidade do avião em relação ao ar é de