Exercícios Resolvidos de Cunhas e Parafusos

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 266, 6/58

O coeficiente de atrito estático μ s , entre o corpo de 100   k g e a cunha com ângulo de 15 ° vale 0,20 . Determine o módulo da força P necessária para levantar o corpo de 100   k g se:

  1. Rolamentos com atrito desprezível estejam colocados sob a cunha como mostrado.
  2. Os rolamentos sejam removidos e o coeficiente de atrito estático μ s = 0,20 seja válido para essa superfície também.

Passo 1

A presença dos rolamentos indica que não existe atrito na parte inferior da cunha.

Podemos, então, desenhar o sistema de forças na cunha como sendo esse:

Perceba que a resultante R 1 é perpendicular e não inclinada neste caso, pois não existe atrito na parte de baixo da cunha.

Então, o ângulo de atrito é:

ϕ = a r c t g μ       →         ϕ = a r c t g 0,2

ϕ = 11,31 °

Olhando para o equilíbrio horizontal desse sistema, podemos achar uma relação entre P e R 2 .

Mas antes temos que achar a componente horizontal da força R 2 :

Então:

∑ F x = 0       →       R 2 s e n ϕ + 15 ° - P = 0

R 2 s e n 11,31 ° + 15 ° - P = 0

R 2 = P sen ⁡ 26,31 °

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos olhar para o corpo:

Olhando para o equilíbrio vertical, temos:

R 2 cos ⁡ ϕ + 15 ° - W = 0

R 2 cos ⁡ 11,31 ° + 15 ° - W = 0

Onde W é o peso e seu módulo vale:

W = 100 9,81 = 981   N

E sabendo que:

R 2 = P sen ⁡ 26,31 °

Substituindo esse valor na expressão do equilíbrio vertical, temos:

R 2 cos ⁡ 11,31 ° + 15 ° - W = 0

P sen ⁡ 26,31 ° cos ⁡ 26,31 ° - 981 = 0

P = 981 s e n 26,31 ° cos ⁡ 26,31 °

P = 485   N

Passo 3

Agora existe atrito entre a base da cunha e o chão. Com isso, algumas coisas mudarão, mas outras não!!!

Vamos olhar primeiro para o corpo:

Os valores dos ângulos não mudaram, certo?

E nem peso mudou!

Então, o valor de R 2 também não mudou. Podemos calcular esse valor da mesma forma que vimos antes:

R 2 cos ⁡ 11,31 ° + 15 ° - W = 0

R 2 = W cos ⁡ 26,31 °         →         R 2 = 981 cos ⁡ 26,31 °

R 2 = 1094   N

Agora, voltando para o equilíbrio da cunha, vemos um cenário diferente:

Como você pode ver, agora existe um ângulo entre a reação R 1 e a superfície da cunha devido ao atrito. Temos que aplicar o equilíbrio vertical para achar o novo valor de R 1 .

Mas antes temos que achar as componentes verticais dessas forças que estão inclinadas:

Então, o nosso equilíbrio vertical fica:

∑ F y = 0     →     R 1 cos ⁡ 11,31 ° - R 2 cos ⁡ 11,31 ° + 15 ° = 0

R 1 cos ⁡ 11,31 ° = R 2 cos ⁡ 26,31 °

R 1 = R 2 cos ⁡ 26,31 ° cos ⁡ 11,31 °           →         R 1 = 1094 0,9141

R 1 = 1115,56 . 0,9141 = 1000   N

Agora, aplicando o equilíbrio horizontal:

∑ F x = 0     →     R 2 s e n 11,31 ° + 15 ° + R 1 s e n 11,31 ° - P = 0

P = 1094 s e n 26,31 ° + 1000 s e n 11,31 ��

P = 484,89 + 196,12

P = 681   N

Resposta

a )   P = 48 5   N

b )   P = 681   N

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