Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

UFRJ - Cálculo 3 - P1 2013.2 – 4

Calcular a integral de linha da função vetorial

F x , y = x + 2 y , sec y 2 e tg y 2 + 4 x

Ao longo da curva que liga o ponto ( 2,0 ) ao ponto ( 0,0 ) e é definida pela equação y = 1 - x - 1 2 .

Passo 1

Essa integral de linha parece complicada de se calcular diretamente pela definição, não é? O campo vetorial envolve secantes, tangentes, termos não muito agradáveis de se trabalhar! Vamos tentar, então, aplicar o Teorema de Green e ver se encontramos algo mais simples.

A curva C em que devemos integrar é uma semicircunferência, pois, elevando a equação ao quadrado, temos

y 2 = 1 - x - 1 2   x - 1 2 + y 2 = 1

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Passo 2

Como y deve ser maior que zero, queremos a parte de cima da circunferência de raio 1 centrada em ( 1,0 ) . Mas essa curva não é fechada, certo? Então vamos fechá-la na maneira mais simples: com um segmento de reta σ que liga seus pontos final e inicial.

A curva final será, portanto:

Veja que ela está orientada positivamente, não se esqueça disso!

Aplicando, então, o Teorema de Green, teremos, então:

C   F d r + σ   F d r = D   F 2 x - F 1 y d x d y

C   F d r = D   F 2 x - F 1 y d x d y - σ   F d r

Passo 3

Vamos agora calcular F 2 x - F 1 y :

F 2 x = x sec y 2 e tg y 2 + 4 x = 4

F 1 y = y x + 2 y = 2

F 2 x - F 1 y = 2

Passo 4

Aplicando o teorema de Green, temos:

C   F d r + σ   F d r = D   2   d x d y = 2 área D

Como se trata de uma semicircunferência de raio 1 , temos:

C   F d r + σ   F d r = 2 π 1 2 2 = π

Passo 5

Falta, agora, calcular a integral sobre o segmento σ , para isso, vamos parametrizá-lo. Como temos o ponto inicial ( 0,0 ) e o final ( 2,0 ) ligados pela reta y = 0 , uma boa parametrização seria σ = ( x , 0 ) , onde temos 0 x 2 ( y é constante e x varia).

Derivando essa expressão, temos σ ' = ( 1,0 )

Passo 6

Montando a integral de linha sobre σ teremos:

σ   F d r = 0 2 x + 0 , sec 0 2 e tg 0 2 + 4 x ( 1,0 ) d x

Veja que escrevemos o campo F em função da parametrização de σ .

σ   F d r = 0 2 x   d x = x 2 2 0 2 = 2

Passo 7

Fazendo a diferença entre esses dois resultados, finalmente calculamos a integral sobre C :

C   F d r = π - 2

Resposta

π - 2

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