Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Sejam o campo vetorial plano definido por F x , y = - e cos 2 ⁡ x + 1 ,   e cos 2 ⁡ y + x 2 ,   x , y ∈ R 2 ,   e C 1 a curva regular dada pela equação e a desigualdade

y = - x x - 5 ,   y ≥ x ,

Orientada indo do ponto A = 0,0 ao ponto B = 4,4 .

a) Esboce C 1

b) Determine uma parametrização da curva regular C 2 que é o segmento de reta que liga os pontos A e B .

c) Use o teorema de Green para calcular a integral ∫ C 1 F d r

(Dica: Use a concatenação de C 1   C 2 do item (b), para obter a curva fechada simples.)

Passo 1

Letra a)

Vamos começar com a equação

y = - x x - 5

Na forma que ela tá, igualando y = 0 para descobrir as raízes vamos ter:

x = 0

x - 5 = 0 → x = 5

Se abrirmos essa equação fica fácil ver que se trata de uma equação do segundo grau y = - x 2 + 5 x com concavidade para baixo

Podemos marcar também o ponto máximo, que se dá quando x está metade entre as duas raízes x = 5 - 0 2 = 2,5

A coordenada y então é

y = - 2,5 2,5 - 5 = 6,25

Podemos agora marcar a parábola que passa por esses pontos

Passo 2

Olhando a outra equação y ≥ x é a região acima da reta y = x

Igualando a reta à parábola saberemos que os pontos de intersecção são

x = - x x - 5

- x 2 + 4 x = 0

x = 0 x = 4

Substiuindo na equação da reta que é mais fácil os pontos são

0,0 4,4

Juntando as duas regiões temos

Então a curva do problema vai ser só essa parte que está acima da reta

Passo 3

Letra b)

Nós já sabemos que a reta que passa por esses pontos é a reta x = y

Uma parametrização para a reta é a seguinte

α t = t , t

Agora como queremos um segmento de reta que liga os pontos ( 0,0 ) e ( 4,4 ) , vamos fazer o t variar de 0 a 4

α t = t , t ,   t ∈ [ 0,4 ]

Passo 4

Letra c)

O teorema de Green relaciona a integral de linha de uma curva fechada com a integral dupla sobre a área limitada por essa curva.

Temos a fórmula que é a seguinte:

Aqui atenção que na representação, D é a área da região enquanto que ∂ D   é o contorno dessa região.

A integral da esquerda é a soma das integrais de linha de cada curva, então podemos escrever

∫ C 1 F   d r + ∫ C 2 F   d r = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Temos que ficar atentos à orientação da curva fechada que deve ser anti-horária. A curva C 2 , esta no sentido correto, agora para C 1   precisamos que o sentido dela seja indo de (4,4) para (0,0).

Imagem

O que fazemos então para conserta isso é colocar

∫ C 1 - F   d r + ∫ C 2 F   d r = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

C 1 - significa que a minha curva está orientada no sentido contrário ao que está parametrizada e para a nossa integral isso significa

∫ C 1 - F   d r = - ∫ C 1 F   d r

Passo 5

Queremos encontrar a integral de linha de F na curva C 1

Da expressão do teorema de Green

∫ C 1 - F   d r + ∫ C 2 F   d r = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Manipulando vamos ter:

- ∫ C 1 F   d r + ∫ C 2 F   d r = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

∫ C 1 F   d r = - ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y - ∫ C 2 F   d r

∫ C 1 F   d r = - ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y + ∫ C 2 F   d r

Vamos calcular agora a integral dupla.

Sendo F x , y = - e cos 2 ⁡ x + 1 ,   e cos 2 ⁡ y + x 2 , vamos ter:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = ∂ ( e cos 2 ⁡ y + x 2 ) ∂ x - ∂ ( - e cos 2 ⁡ x + 1 ) ∂ y

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 2 x - 0 = 2 x

Para o domínio D   vamos considerar que ela é uma região do tipo I . A variável x varia entre constantes e a variável y varia entre funções

Em x a região varia entre 0 e 4 :

0 ≤ x ≤ 4

Em y a região varia da reta y = x até a reta y = - x 2 + 5 x ) :

x ≤ y ≤ - x 2 + 5 x )

Resolvendo agora a integral dupla:

∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y = ∫ 0 4 ∫ x - x 2 + 5 x 2 x d y d x

Resolvendo para y :

∫ 0 4 2 x [ y ] x - x 2 + 5 x   d x = ∫ 0 4 2 x - x 2 + 5 x - x d x

Resolvendo agora para x :

∫ 0 4 2 x - x 2 + 4 x d x = ∫ 0 4 - 2 x 3 + 8 x 2 d x

∫ 0 4 - 2 x 3 + 8 x 2 d x = - 2 x 4 4 + 8 x 3 3 0 4 = - 2 4 4 4 + 8 4 3 3 - - 2 0 4 4 + 8 0 3 3 = 128 3

Passo 6

Vamos agora calcular para a integral de linha de C 2 :

∫ C 2 F   d r = ∫ a b F α t . α ' t d t  

Calculando F α t :

F α t = - e cos 2 ⁡ t + 1 ,   e cos 2 ⁡ t + t 2

Calculando α ' t :

α t = ( t , t )

α ' t = 1 , 1

∫ a b F α t . α ' t d t = ∫ 0 4 - e cos 2 ⁡ t + 1 ,   e cos 2 ⁡ t + t 2 1,1 d t

Aplicando o produto escalar:

= ∫ 0 4 - e cos 2 ⁡ t + 1 ) ( 1 ) + ( e cos 2 ⁡ t + t 2 1   d t

= ∫ 0 4 t 2 + 1   d t

Resolvendo essa integral para t :

∫ 0 4 t 2 + 1 = t 3 3 + t 0 4 = 76 3

Voltando para o calculo da integral de linha C 1 :

∫ C 1 F   d r = - ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y + ∫ C 2 F   d r

Substituindo o que a gente calculou:

∫ C 1 F   d r = - 128 3 + 76 3 = - 52 3

Passo 7

Resposta

a)  

b)   α t = t , t ,   t ∈ [ 0,4 ]

c)   - 155 3

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2