Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Questão 2. Calcule ∫ C F d γ , onde F x , y = x 2 y i + x 3 3 j e C é a curva parametrizada por γ t = 1 + 1 - t tan ⁡ t , 2 t , 0 ≤ t ≤ 1 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão temos que calcular a integral ∫ C F d γ dado que F x , y = x 2 y i + x 3 3 j e C é a curva parametrizada por γ t = 1 + 1 - t tan ⁡ t , 2 t , onde t varia entre 0 e 1 .

Aqui temos uma integral de linha no caso vetorial já que temos que calcular a integral de um vetor através de uma curva C .

Para obter essa integral, vamos dizer que F x , y = F 1 i + F 2 j e a nossa primeira tentativa nesses casos, deve ser se podemos aplicar o Teorema de Green.

Tem ideia de como aplicar este teorema nesse caso? 🤔🤔

O Teorema de Green é calculado a partir da simplificação do campo vetorial F x , y que é dado, onde

∫ C F d γ = ∬ C d F 2 d x - d F 1 d y d A

Mas para isso, a região C deve ser uma região fechada, então no nosso caso γ 0 deve ser igual a γ 1 .

Bora ver se nossa curva C é fechada? 👀

Passo 2

Vamos testar substituindo t por 0 em γ t e depois por 1

γ 0 = 1 + 1 - 0 tan ⁡ 0 , 2 0

γ 0 = 1,0

Agora para t = 1 ...

γ 1 = 1 + 1 - 1 tan ⁡ 1 , 2 1

γ 1 = 1 , 2

Vemos que γ 0 ≠   γ 1 então vamos aplicar uma linha que sai de 1,0 até 1,2 e vamos chamar essa linha de C 1 .

Agora sim, podemos aplicar o Teorema de Green, adicionando a integral para a curva C 1 na equação

∫ C F d γ + ∫ C 1 F d γ = ∬ C d F 2 d x - d F 1 d y d A

Isolando ∫ C F d γ , que é a integral que queremos obter, temos

∫ C F d γ = ∬ C d F 2 d x - d F 1 d y d A - ∫ C 1 F d γ

Calculando d F 2 d x - d F 1 d y como vimos que F 1 = x 2 y e F 2 = x 3 3 no passo 1, temos

d F 2 d x - d F 1 d y = d x 3 3 d x - d x 2 y d y

Pelo método de derivação polinomial...

d x 3 3 d x = 3 x 3 - 1 3 = x 2

d x 2 y d y = x 2 y 1 - 1 = x 2

Logo

d F 2 d x - d F 1 d y = x 2 - x 2 = 0

Substituindo no teorema...

∫ C F d γ = ∬ C 0 d A - ∫ C 1 F d γ

A integral de 0 é 0 em qualquer situação, então

∫ C F d γ = - ∫ C 1 F d γ

Entendeu essa parte? 😁

Passo 3

O que encontramos ao aplicar o Teorema de Green é que a integral de F em C é dado pela integral - ∫ C 1 F d γ

Nesse caso, vamos desenvolver essa integral um pouco mais...

A reta C 1 que criamos liga os pontos 1,0 e 1,2 , ou seja, ela está contida em x = 1 e y varia de 2 a 0 . Podemos parametrizar C 1 como

γ 1 t = 1 , t

Em que t varia de 2 a 0 .

Vamos calcular - ∫ C 1 F d γ como uma integral de linha

A integral de linha pode ser obtida a partir de uma transformação na integral - ∫ C 1 F d γ

∫ C 1 F d γ = ∫ a b F γ 1 t · γ 1 ' t d t

Derivando o vetor γ 1 t , vamos obter

γ 1 ' t = d 1 d t , d t d t

Ou seja

γ 1 ' t = 0 , 1

Aplicando γ 1 t em F x , y substituindo x por 1 e y por t , temos

F γ 1 t = 1 2 t i + 1 3 3 j

F γ 1 t = t , 1 3

Está acompanhando? 👀

Passo 4

Substituindo na integral de linha, temos

∫ C 1 F d γ = ∫ a b t , 1 3 · 0,1 d t

a e b são os limites de integração, t está indo de 2 até 0 , como vimos no passo anterior, então, a = 2 e b = 0 .

∫ C 1 F d γ = ∫ 2 0 t , 1 3 · 0,1 d t

Calculando o produto interno de t , 1 3 e 0,1 ...

t , 1 3 · 0,1 = t 0 + 1 3 1 = 1 3

Substituindo na integral

∫ C 1 F d γ = ∫ 2 0 1 3 d t

Sabemos que a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração, portanto

∫ 1 3 d t = 1 3 t

Aplicando os limites de intergação...

∫ 2 0 1 3 d t = 1 3 0 - 1 3 2

∫ 2 0 1 3 d t = - 2 3

Por fim, se ∫ C F d γ = - ∫ C 1 F d γ e ∫ C 1 F d γ = ∫ 2 0 1 3 d t , temos

∫ C F d γ = - - 2 3

∫ C F d γ = 2 3

Foi muito difícil? 👀👀

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ C F d γ = 2 3

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2