Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Calcule a integral de linha ∫ C F   d r do campo vetorial

F x , y = e - x 2 - y 2 c o s   2 x y   + x - y ,     e - x 2 - y 2 s e n   2 x y + x + y

sobre a curva C parametrizada por α t = ( 3   c o s   t   ,   2 + s e n   t ) , onde - π 2 ≤ t ≤ π 2 .

Passo 1

Pela parametrização observamos que

x = 3   c o s   t  

y = 2 + s e n   t

Por coordenadas elípticas, percebemos que a equação cartesiana seria

x 2 9 + y - 2 2 = 1 ,   p a r a   x > 0

Passo 2

Agora, imagina comigo jogar a parametrização dentro daquele campo bizarro ali...complicado, né? Por isso a gente já pensa no Teorema de Green, onde vamos trocar essa integral de linha por uma integral dupla, dentro dessa região que acabamos de obter a equação cartesiana, tranquilo?

No entanto, uma da condições do teorema de green é que tenhamos curva fechada. Observa que estamos trabalhando com a metade da direita de uma elipse

Por essa razão vamos fechar a curva C ,   com essa reta vermelha que chamarei de γ (se atentando para manter a orientação positiva)

Passo 3

Parametrizando essa curva ficamos com

γ t = 0 , t ,   1 ≤ t ≤ 3

No entanto, observe que na hora de montarmos a integral, temos que lembrar de trocar o sinal, uma vez que a curva roda de 3 para 1, e não no sentindo da parametrização.

Passo 4

Bom, voltando pra o Teorema de green ficamos então com

∫ C F   d r + ∫ γ F   d r = ∬ ω ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Resolvendo primeiro a parte da integral dupla, calculando ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y , encontramos 2 como resultado:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = ∂   e - x 2 - y 2 s e n   2 x y + x + y ∂ x - ∂ e - x 2 - y 2   c o s   2 x y   + x - y ∂ y

∂   e - x 2 - y 2 s e n   2 x y + x + y ∂ x = - 2 x   e - x 2 + y 2 s e n   2 x y + 2 y   e - x 2 - y 2 c o s   2 x y + 1

∂ e - x 2 - y 2 c o s   2 x y   + x - y ∂ y = + 2 y e - x 2 + y 2 c o s   2 x y   - 2 x e - x 2 + y 2 s e n   2 x y   - 1

Substituindo encontramos:

- 2 x   e - x 2 - y 2 s e n   2 x y + 2 y   e - x 2 - y 2 c o s   2 x y + 1 - 2 y e - x 2 - y 2 c o s   2 x y   + 2 x e - x 2 + y 2 s e n   2 x y   + 1 = 2

Ficamos então com

∫ C F   d r + ∫ γ F ( γ t ) γ ' t d t = ∬ ω 2

Resolvendo a integral de linha, uma vez que o campo é

F x , y = e - x 2 - y 2 c o s   2 x y   + x - y ,     e - x 2 - y 2 s e n   2 x y + x + y

E a parametrização é

γ t = 0 , t

F γ t = n ã o   i m p o r t a   o   q u e   v e m   n e s s a   p a r t e ,     t

Observa que falei que não importa o que entra ali naquela parte... but why? Quando formos multiplicar com a derivada da parametrização, aquele termo some. Observa que

γ ' t = 0,1

Então vamos ficar com

∫ γ F γ t γ ' t d t =

∫ γ * * * ,   t 0,1 d t = ∫ γ t   d t

∫ 1 3 t   d t

Agora temos de lembrar de trocar o sinal para conservar a orientação positiva, então ficamos com

- ∫ 1 3 t   d t = - t 2 2 | 1 3 = - 4

Passo 5

Retornando para a integral dupla, ficamos agora com:

∬ ω 2 = 2 .   á r e a ( w )

Observa pela nossa figura acima que estamos trabalhando com a metade de uma elipse, que é dada por a × b × π

3 × 1 × π = 3 π

Agora dividido por 2, por ser a metade apenas.

2 . 3 π 2 = 3 π

Passo 6

Pra fechar então voltamos ao teorema pra juntar os valores que obtivemos.

∫ C F   d r + ∫ γ F   d r = ∬ ω ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

∫ C F   d r + - 4 = 3 π

∫ C F   d r = 3 π + 4

Resposta

3 π + 4

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2