Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Sejam F → x , y = cos ⁡ s e n x 2 ,   y 2 + x e a curva γ t = 1 - t , t   com - 1 ≤ t ≤ 1 . Então ∫ γ F → ⋅ d r → é

Escolha uma:

a) 5 3

b) - 2 3

c) - 5 3

d) 2 3

e) 1 3

Passo 1

Cara, esse campo é muito feio e a curva também é estranha. Então vamos ver se é uma boa usar o Teorema de Green. Para testar isso, vamos calcular o rotacional desse campo

r o t   F → = ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Nosso campo é

F → x , y = cos ⁡ s e n x 2 ,   y 2 + x = F 1 , F 2

Aí o rotacional fica

r o t   F → = ∂ y 2 + x ∂ x - ∂ cos ⁡ s e n x 2 ∂ y = 1

Nossa, ficou super simples, né? Então, bora de Green!

Passo 2

O Teorema de Green diz que a gente pode calcular a integral de F = F 1 , F 2   em uma curva δ D por essa relação:

∫ δ D F → d r → = ∫ ∫ D r o t   F → d A

Onde D é uma região e δ D é a curva fronteira dessa região. Só que ele tem umas condições para aplicar.

Primeira condição: A nossa região precisa ser fechada: Vamos esboçar nossa curva para olhar isso

γ t = 1 - t , t

Como daí a gente tem y = t , podemos dizer que

x = 1 - t ∴ x = 1 - y

Sendo que t ∈ - 1,1 ∴ y ∈ - 1,1 . Aí para esboçar isso, a gente reescreve essa equação como duas retas, uma para y ≥ 0 e outra para y < 0 .

0 ≤ y ≤ 1 ,     x = 1 - y

- 1 ≤ y < 0 ,     x = 1 - - y

Esboçando esses dois segmentos no mesmo plano

Essas setinhas representam que nossa curva sai de t = y = - 1 e vai até t = y = 1 .

Repara que γ não é uma curva fechada, a gente vai precisar fechar ela. E agora?

Passo 3

O jeito mais simples é fechar ela com um segmento de reta contido em x = 0 .

Vamos chamar ele s t , e parametriza-lo assim:

s t = 0 , t ,   - 1 ≤ t ≤ 1

Nossa fronteira agora é formada por γ e s t .

Passo 4

Segunda condição: A fronteira precisa ser percorrida no sentido positivo: Que sentido é esse? É só você imaginar que está andando na borda no sentido das setinhas, sua região D precisa está à sua esquerda.

Repara que isso acontece na nossa região quando andamos por cima de γ , mas não acontece quando andamos por cima de s t . Aí o que a gente faz? Desiste?! Não!

A gente pode lembrar que

∫ s t - F → d r → = - ∫ s ( t ) F → d r →

Então, a gente só precisa mudar o sinal da integral de linha que representa esse segmento. Aí fica tranquilo!

Aí, podemos reescrever o lado esquerdo do teorema assim

∫ δ D F → d r → = ∫ γ ∪ s t - F → d r → = ∫ γ F → d r → - ∫ s t F → d r →

Terceira condição: F → e suas derivadas não podem ter descontinuidades dentro da nossa região. Aí a gente olha para o nosso F → :

F x , y = F 1 , F 2 = F → x , y = cos ⁡ s e n x 2 ,   y 2 + x

Ele realmente está bem definido para todo ( x , y ) . Então essa tá tranquilo também. Bora lá aplicar o Teorema!

Passo 5

Substituindo nele as coisas que a gente tem:

∫ γ F → d r → - ∫ s t F → d r → = ∫ ∫ D r o t   F → d A

Vimos que r o t   F → = 1 :

∫ γ F → d r → - ∫ s t F → d r → = ∫ ∫ D 1 d A

Repara que temos ali uma integra dupla com integrando igual a 1, isso quer dizer que a gente só precisa calcular a área de D . Como D é um triângulo (o rosinha) de base 2 e altura 1.

∫ ∫ D 1 d A = 2 ⋅ 1 2 = 1

Aí temos

∫ γ F → d r → - ∫ s t F → d r → = 1 ∴ ∫ γ F → d r → = 1 + ∫ s t F → d r →

A ideia é calcular o valor da integral de linha sobre γ calculando essa integral de linha em s t e somando 1.

Passo 6

Vamos olhar para integral de linha:

∫ s t F → d r →

A fórmulinha para montar ela é

∫ t 1 t 2 F s t ⋅ s ' t d t

O intervalo t 1 , t 2 é o domínio do segmento s t , no caso, - 1,1 .

O termo F s t é quando a gente substitui as componentes de s t em F x , y :

s t = 0 , t

x = 0 ,     y = t  

Aí o campo fica:

F → x , y = cos ⁡ s e n x 2 ,   y 2 + x

F s t = 1 ,   t 2

E s ' t é a derivada de s t :

s ' t = 0,1

Substituindo essas coisas na fórmulinha e calculando:

∫ s t F → d r → = ∫ - 1 1 1 ,   t 2 ⋅ 0,1 d t

∫ s t F → d r → = ∫ - 1 1 t 2 d t = t 3 3 - 1 1 = 1 3 + 1 3 = 2 3

Passo 7

Substituindo o que a gente achou na nossa expressão para a integral de linha sobre γ :

∫ γ F → d r → = 1 + ∫ s t F → d r →

∫ γ F → d r → = 1 + 2 3 = 5 3

Resposta

Letra a

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2