Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Usando o Teorema de Green, calcular

∫ C F d r

Onde F é o campo vetorial F x , y = e x 3 + y 2 ,   x + y 5 e C é a curva por partes formada por y = x e y = 0 , 0 ≤ x ≤ 1 , que vai do ponto 1,1 ao ponto 1,0 .

Passo 1

Ele diz para gente usar o teorema de Green para calcular uma integral de linha vetorial sobre a curva C .

Andando por ela, a gente começa em 1,1 , passa pela reta y = x , até a origem (a interseção entre y = x e y = 0 ) e depois vai pela reta y = 0 , até 1,0 . Esboçando esse caminho:

Então C é esse caminho que a gente desenhou.

Passo 2

O Teorema de Green diz que a gente pode calcular a integral de F = F 1 , F 2   em uma curva δ D por essa relação:

∫ δ D F d r = ∫ ∫ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Onde D é uma região e δ D é a curva fronteira dessa região. Só que ele tem umas condições para aplicar.

Primeira condição: A nossa região precisa ser fechada: Repara que C não é uma curva fechada, a gente vai precisar fechar ela. O jeito mais simples é fechar ela com um segmento de reta contido em x = 1 .

Vamos chamar ele s t , e parametriza-lo assim:

s t = 1 , t ,     0 ≤ t ≤ 1

Repara que a gente parametrizou ele no sentido que casa direitinho com o sentido da nossa curva C . Nossa fronteira agora é formada por C e s t .

Por isso, podemos reescrever o lado esquerdo do teorema assim

∫ δ D F d r = ∫ C ∪ s t F   d r = ∫ C F d r + ∫ s t F d r

Passo 3

Segunda condição: A fronteira precisa ser percorrida no sentido positivo: Que sentido é esse? É só você imaginar que está andando na borda no sentido das setinhas, sua região D precisa está à sua esquerda.

Repara que isso acontece na nossa região limitada por C e s t . Então essa está tranquila!

Terceira condição: F não pode ter descontinuidades dentro da nossa região. Aí a gente olha para o nosso F :

F x , y = F 1 , F 2 = e x 3 + y 2 ,   x + y 5

Ela realmente está bem definida para todo ( x , y ) . Então essa tá tranquilo também. Bora lá aplicar o Teorema!

Passo 4

Substituindo nele as coisas que a gente tem:

∫ C F d r + ∫ s t F d r = ∫ ∫ D ∂ x + y 5 ∂ x - ∂ e x 3 + y 2 ∂ y d A

Bora calcular esse integrando ali:

∂ x + y 5 ∂ x - ∂ e x 3 + y 2 ∂ y = 1 - 2 y

∫ C F d r + ∫ s t F d r = ∫ ∫ D 1 - 2 y d A

∫ C F d r = ∫ ∫ D 1 - 2 y d A - ∫ s t F d r

A ideia é calcular o valor da integral de linha sobre C calculando essa integral dupla na direita e a outra integral de linha em s t .

Passo 5

Vamos olhar para integral dupla

∫ ∫ D 1 - 2 y d A

D é o nosso triângulo limitado por C e s t . Aí a gente precisa definir os extremos de integração para percorrer ele.

No eixo x , vemos que ele está entre:

0 ≤ x ≤ 1

Já no eixo y , ele é limitado por baixo por y = 0 e por cima pela reta que passa por ( 0,0 ) e ( 1,1 ) . Achando a equação dessa reta, vemos que ela é

y = x

Aí dizemos que:

0 ≤ y ≤ x

Nossa integral fica:

∫ ∫ D 1 - 2 y d A = ∫ 0 1 ∫ 0 x 1 - 2 y d y d x

Calculando ela:

∫ ∫ D 1 - 2 y d A = ∫ 0 1 y - y 2 0 x d x = ∫ 0 1 x - x 2 d x

∫ ∫ D 1 - 2 y d A = x 2 2 - x 3 3 0 1 = 1 2 - 1 3 = 1 6

Passo 6

Vamos olhar para integral de linha:

∫ s t F d r

A fórmulinha para montar ela é

∫ t 1 t 2 F s t ⋅ s ' t d t

O intervalo t 1 , t 2 é o domínio do segmento s t , no caso, 0,1 .

O termo F s t é quando a gente substitui as componentes de s t em F x , y :

s t = 1 , t

x = 1 ,     y = t  

Aí o campo fica:

F x , y = e x 3 + y 2 ,   x + y 5

F s t = e 1 + t 2 ,   1 + t 5

E s ' t é a derivada de s t :

s ' t = 0,1

Substituindo essas coisas na fórmulinha e calculando:

∫ s t F d r = ∫ 0 1 e 1 + t 2 ,   1 + t 5 ⋅ 0,1 d t

∫ s t F d r = ∫ 0 1 1 + t 5 d t = t + t 6 6 0 1 = 1 + 1 6 = 7 6

Passo 7

Substituindo o que a gente achou na nossa expressão para a integral de linha sobre C :

∫ C F d r = ∫ ∫ D 1 - 2 y d A - ∫ s t F d r

∫ C F d r = 1 6 - 7 6 = - 1

Resposta

∫ C F d r = - 1

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2