Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

USP - Cálculo 3 - P2 2015 - 2

Calcule γ   s e n x 2 - y 2 d x + x y + y 3 d y para γ a curva dada por x 2 - 2 x + y 2 - 2 y = 7 com x 1 percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Para escrever a curva na forma paramétrica teríamos que usar senos e cossenos, o que tornaria a integral muito complicada. Portanto, calcular essa integral pela definição não é uma boa. Vamos tentar usar o Teorema de Green aqui então.

O campo vetorial da questão pode ser escrito como F = s e n x 2 - y 2 , x y + y 3

Vamos agora calcular F 2 x - F 1 y :

F 2 x = y

F 1 y = - 2 y

F 2 x - F 1 y = y - - 2 y = 3 y

Essa é uma expressão simples, quer dizer que estamos no caminho certo!

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Passo 2

Beleza, vamos aplicar Green então, mas em que região? Vamos primeiro descobrir quem é essa curva γ do enunciado:

x 2 - 2 x + y 2 - 2 y = 7

Completando esses quadrados, temos:

x - 1 2 + y - 1 2 = 7 + 1 + 1 = 9

A equação x - 1 2 + y - 1 2 = 9 é uma circunferência de raio 3 centrada em ( 1,1 ) , certo?

Como o problema diz que x 1 , temos isso aqui:

Mas para aplicar o Teorema de Geen, nós precisamos de uma curva fechada e orientada positivamente, não é? Vamos fechar isso aí com uma reta:

Como o enunciado já dizia que γ está orientada no sentido anti-horário, tá tudo ok então.

Agora podemos aplicar Green:

γ   F d r + r   F d r = D   F 2 x - F 1 y d x d y = D   3 y   d x d y

Onde r é a reta do desenho e D é a região entre o arco e a reta.

Passo 3

Como a região D está compreendida entre um arco de circunferência e uma reta, a melhor saída aqui são as coordenadas polares. Faremos:

x = r cos θ + 1

y = r sen θ + 1

J = r

Esses termos + 1 que adicionamos na mudança polar estão aí porque a circunferência está deslocada da origem, lembra? Temos x - 1 2 + y - 1 2 = 9 . Adicionando os termos + 1 , nós “levamos” o novo sistema de coordenadas para o centro da circunferência, que passa a ser escrita como r = r a i o = 3 .

Isso ocorre porque o + 1 da mudança polar faz desaparecer o - 1 da equação da circunferência, tornando sua equação r 2 = 9 .

Bom, sabemos então que 0 r 3 . Como temos meia volta da circunferência, olhando para o gráfico e lembrando que o novo eixo de coordenadas está no seu centro, vemos que π 2 θ 3 π 2 .

Agora, fazendo a mudança polar na integral, temos:

γ   F d r + r   F d r = 3 π / 2 3 π / 2 0 3 r sen θ + 1 r d r d θ

= 3 π / 2 3 π / 2 r 3 3 s e n   θ + r 2 2 0 3 d θ =

= 3 π / 2 3 π / 2 9 s e n   θ + 9 2 d θ =

= 3 - 9 cos θ + 9 θ 2 π / 2 3 π / 2 =

= 3 0 + 27 π 4 - 0 - 9 π 4 =

γ   F d r + r   F d r = 27 π 2

Passo 4

Agora precisamos parametrizar essa reta que criamos.

Temos um segmento que pertence à reta x = 1 (para qualquer y ), portanto, podemos parametrizá-lo assim:

r y = ( 1 , y )

Pela figura, vemos que - 2 y 4 .

r ' y = ( 0,1 )

Agora vamos substituir esses valores na fórmula:

a b F x x ,   y x   σ '   d x

Aplicando a parametrização na expressão do campo:

F x x , y x = s e n x 2 - y 2 , x y + y 3

A integral fica:

= - 2 4 s e n 1 - y 2 , y + y 3 ( 0,1 )   d y =

= - 2 4 y + y 3   d y =

= y 2 2 + y 4 4 - 2 4 =

= 8 + 6 4 - 2 + 4 = 66

= 6 6

Passo 5

Agora vamos encontrar o que queremos:

γ   F d r = D   F 2 x - F 1 y d x d y - r   F d r

γ   F d r = 27 π 2 - 6 6

Resposta

27 π 2 - 6 6

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