Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

USP - Cálculo 3 - P2 2012 - 3

Calcule γ   ( ln 1 + y - x - y 3 ) d x + x 3 + 1 - ln 1 + y - x d y para γ a curva x 2 + y 2 = 4 com y x com ponto inicial - 2 ,   - 2 e ponto final 2 ,   2 .

Passo 1

Bom, já deu para ver que calcular essa integral aí pela definição deve dar muito trabalho, né? Vamos tentar aplicar Green então. Temos:

F 2 x - F 1 y = 3 x 2 + 1 1 + y - x - - 3 y 2 + 1 1 + y - x

= 3 x 2 + 3 y 2

Bom, como é uma expressão relativamente simples, quer dizer que estamos no caminho certo.

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Passo 2

Pelo Teorema de Green, considerando C uma curva fechada orientada no sentido anti-horário, temos:

c   F d r = D   F 2 x - F 1 y d x d y = D   3 x 2 + 3 y 2 d x d y

Mas o problema pede a integral de linha na curva x 2 + y 2 = 4 (uma circunferência) com ponto inicial - 2 ,   - 2 e ponto final 2 ,   2 . Logo, não temos uma volta completa na circunferência, essa curva é aberta.

Então vamos fechá-la, com uma reta mesmo, que liga os pontos final e inicial, no mesmo sentido do arco:

Então, sendo C a união do arco γ com a o segmento de reta r e C - igual a C no sentido contrário, pois precisamos da curva orientada positivamente, temos:

c -   F d r = γ -   F d r + r -   F d r = D   3 x 2 + 3 y 2 d x d y

γ -   F d r = D   3 x 2 + 3 y 2 d x d y - r -   F d r

Mas queremos a integral de linha em γ , não γ - :

- γ   F d r = D   3 x 2 + 3 y 2 d x d y - - r   F d r

γ   F d r = - D   3 x 2 + 3 y 2 d x d y - r   F d r

Onde D é a região em cinza na figura acima. Então, para encontrar a integral que queremos, precisamos resolver a integral dupla e a integral de linha na reta.

Passo 3

Vamos começar pela integral dupla. Já que temos um setor circular, vamos usar coordenadas polares:

x = r cos θ

y = r   s e n   θ

J = r

Como vemos pela figura, 0 r 2 (pois o raio da circunferência é 2 ). O intervalo do ângulo θ , nós podemos ver por trigonometria: já que o ponto final é 2 ,   2 , sabemos que θ começa em π / 4 . Pela figura, podemos ver que o ângulo final é π 4 + π = 5 π 4 , então, π 4 θ 5 π 4 .

Fazendo a mudança polar então, temos:

= 3 D   x 2 + y 2 d x d y = 3 π / 4 5 π / 4 0 2 r 2 r d r d θ

Agora vamos resolver isso a��:

= 3 π / 4 5 π / 4 r 4 4 0 2 d θ =

= 3 4 π / 4 5 π / 4 16 d θ =

= 12 θ π / 4 5 π / 4 =

= 12 π

Passo 4

Para parametrizar a reta devemos primeiro notar que ela é escrita como y = x .

Fazendo x = t , teremos a seguinte parametrização

σ t = ( t , t )

Agora pela orientação temos que t vai de 2 até - 2 .

Escrevendo o campo

F x , y = ln 1 + y - x - y 3 ) , x 3 + 1 - ln 1 + y - x

Nas variáveis da parametrização, temos:

F x ( t ) , y ( t ) = ln 1 - t 3 , t 3 + 1 - ln 1

F x ( t ) , y ( t ) = - t 3 , 1 + t 3

Podemos, então, substituir os valores que encontramos na fórmula abaixo:

a b F x t ,   y t σ '   d t

= 2 - 2 - t 3 , 1 + t 3 ( 1,1 )   d t =

= 2 - 2 - t 3 + 1 + t 3   d t =

= 2 - 2   d t =

= t 2 - 2 =

= - 2 2

Passo 5

Agora vamos substituir os valores que encontramos para calcular o que o problema pediu:

γ   F d r = - D   3 x 2 + 3 y 2 d x d y - r   F d r = - 12 π - - 2 2

γ   F d r = 2 2 - 12 π

Resposta

2 2 - 12 π

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