Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Calcule a integral

∫ γ   - y cos 2 ⁡ x + x 2 e x 3 d x + e y 2 ln ⁡ 1 + y 2 d y

Onde γ é o arco do gráfico de y = s e n ( x ) que vai de ( 0,0 ) a ( π , 0 ) .

Passo 1

Bom, já deu para ver que calcular essa integral aí pela definição deve dar muito trabalho, né? Vamos tentar aplicar Green então. Temos:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0 - - cos 2 ⁡ x + 0 = cos 2 ⁡ x

Bom, como é uma expressão relativamente simples, quer dizer que estamos no caminho certo.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, considerando C uma curva fechada orientada no sentido anti-horário e D a região limitada por ela, temos:

∫ c   F ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y = ∬ D   cos 2 ⁡ x d x d y

Mas o problema pede a integral de linha na curva y = s e n ( x ) de ( 0,0 ) a ( π , 0 ) , isso aqui:

Logo, essa curva é aberta, precisamos fechar!

Então vamos fechá-la, com uma reta mesmo, que liga os pontos final e inicial, no mesmo sentido do arco:

Então, sendo C a união do arco γ com a o segmento de reta r e C - igual a C no sentido contrário, pois precisamos da curva orientada positivamente, temos:

∫ c -   F ⋅ d r = ∫ γ -   F ⋅ d r + ∫ r -   F ⋅ d r = ∬ D   cos 2 ⁡ x d x d y

∫ γ -   F ⋅ d r = ∬ D   cos 2 ⁡ x d x d y - ∫ r -   F ⋅ d r

Mas queremos a integral de linha em γ , não γ - :

- ∫ γ   F ⋅ d r = - ∬ D   cos 2 ⁡ x d x d y - - ∫ r   F ⋅ d r

∫ γ   F ⋅ d r = - ∬ D   cos 2 ⁡ x d x d y - ∫ r   F ⋅ d r

Onde D é a região em cinza na figura acima. Então, para encontrar a integral que queremos, precisamos resolver a integral dupla e a integral de linha na reta.

Repare que o campo não possui indeterminação em D .

Passo 3

Vamos começar pela integral dupla. Descrevendo a região D como tipo I, temos y entre y = 0 e a curva y = s e n   x e x desde 0 até π . Levando para a integral, temos:

∬ D   cos 2 ⁡ x d x d y = ∫ 0 π ∫ 0 s e n   x cos 2 ⁡ x d y d x

= ∫ 0 π y cos 2 ⁡ x 0 s e n   x d x =

= ∫ 0 π s e n   x   cos 2 ⁡ x d x =

= - 1 3 cos 3 ⁡ x 0 π =

= - 1 3 - 1 - 1 = 2 3

Passo 4

Agora vamos resolver a integral de linha no segmento de reta. Vamos começar parametrizando o segmento.

Como o segmento pertence à reta y = 0 , podemos usar essa parametrização aqui:

r → x = x , 0

Onde x vai de π a 0 (por causa da orientação de r ).

Agora vamos derivar essa parametrização:

r ' → = 1 , 0

Escrevendo o campo

F x , y = - y cos 2 ⁡ x + x 2 e x 3 , e y 2 ln ⁡ 1 + y 2

Nas variáveis da parametrização, temos:

F x ( t ) , y ( t ) = 0 + x 2 e x 3 , 1 ln ⁡ 1 = x 2 e x 3 , 0

Podemos, então, substituir os valores que encontramos na fórmula abaixo:

∫ a b F x x ,   y x ⋅   r ' →   d x

= ∫ π 0 x 2 e x 3 , 0 ⋅ ( 1 , 0 )   d x =

= ∫ π 0 x 2 e x 3 d x =

= 1 3 e x 3 π 0 =

= 1 3 1 - e π 3

Passo 5

Agora vamos substituir os valores que encontramos para calcular o que o problema pediu:

∫ γ   F ⋅ d r = - ∬ D   cos 2 ⁡ x d x d y - ∫ r   F ⋅ d r

∫ γ   F ⋅ d r = - 2 3 - 1 3 1 - e π 3 = e π 3 - 3 3

Resposta

e π 3 - 3 3

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = x 3 / y ,C : y = x 2 / 2 ,0 ≤ x ≤ 2
f ( x , y ) = x + y 2 / 1 + x 2 , C : y = x 2 / 2 entre ( 1,1 / 2 ) e ( 0,0 )