Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, pp. 229 ex. 6.8

Calcule C   e x sen y   d x + e x cos y + x d y , onde C é o arco da circunferência x 2 + y 2 = 1 , no primeiro quadrante, orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos fazer um esboço da curva:

A parametrização desse arco envolveria senos e cossenos, que, quando substituídos na expressão do campo vetorial, tornariam a integral muito complicada. Vamos, então, aplicar o Teorema de Green aqui.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Perceba que a curva C em que vamos integrar não é fechada, ela é composta apenas pelo arco de circunferência. O que faremos então? Vamos fechá-la, formando uma curva S = C C 1 C 2 , onde C 1 é o segmento de reta horizontal e C 2 o vertical. Vamos orientar essa curva S de positivamente.

Teremos, então:

D   F 2 x - F 1 y d x d y = S   F d r = C   F d r + c 1   F d r + C 2   F d r

Agora, vamos isolar o termo que queremos, C   F . d r :

C   F d r = D   F 2 x - F 1 y d x d y - c 1   F d r - C 2   F d r

Como os segmentos C 1 e C 2 são simples de parametrizar, vamos calculá-los pela definição mesmo.

Passo 3

O campo vetorial da questão pode ser escrito como F = e x sen y   , e x cos y + x

Vamos agora calcular F 2 x - F 1 y :

F 2 x = x e x cos y + x = e x cos y + 1

F 1 y = y e x sen y = e x cos y

F 2 x - F 1 y = e x cos y + 1 - e x cos y = 1

Sendo S a fronteira da nossa região D , aplicando o teorema de Green, temos:

S   F d r = D   1 d x d y = área D = π 4

Calma, essa ainda não é a resposta, ainda precisamos calcular a integral em C 1 e em C 2 . Guarde esse resultado.

Passo 4

Vamos parametrizar os segmentos C 1 e C 2 .

Para C 1 : Este é um segmento horizontal em que y = 0 e x varia, portanto, podemos parametrizá-lo assim: σ 1 = ( x , 0 ) , onde x varia de 0 a 1 .

Para C 2 : Este é um segmento vertical em que x = 0 e y varia, portanto, podemos parametrizá-lo assim: σ 2 = ( 0 , y ) , onde y varia de 1 a 0 .

Passo 5

Agora precisamos derivar essas parametrizações:

σ 1 ' = ( 1,0 )

σ 2 ' = ( 0,1 )

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula que vimos capítulo passado:

a b F x t ,   y t σ ' t   d t

Temos:

c 1   F d r = 0 1 e x sen 0   , e x cos 0 + x 1,0 d x = 0 1 0   , e x + x 1,0 d x = 0

C 2   F d r = 1 0 e 0 sen y   , e 0 cos y + 0 0,1 d y =

= 1 0 cos y d y = sen y 1 0 = - sen 1

Passo 7

O que queremos é a integral em C . Temos que:

C   F d r = S   F d r - c 1   F d r - C 2   F d r

Substituindo os resultados que encontramos:

C   F d r = π 4 - 0 - - sen 1 =

Resposta

π 4 + sen 1

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