Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

Ver Teoria

Enunciado

Considere a curva parametrizada γ t = 2 t , s e n π t , com t ∈ 1,0 . A integral ∫ γ e x + ln ⁡ 1 + y 2 d x + 1 + 2 x y 1 + y 2 d y   é igual a:

Passo 1

Bom, como esse campo ai não parece nada bonito de trabalhar, a gente já pensa no teorma de green até por que o método direto parece quas euqe inviável.

Para isso, temos que conferir as condições do teorema.

Primeira delas, curva fechada. Para conferir isso, vamos substituir os valores das extremidades de t na parametrização para identificar se são pontos diferentes. Se encontrarmos pontos diferentes, isso indica que estamos trabalhando com uma curva fechada.

γ 0 = 0 , s e n 0 = ( 0,0 )

γ 1 = 2 , s e n π = ( 2,0 )

Bom, da pra ver ai que estamos trabalhando com uma curva aberta.

Alem disso o terome nos pede campo sem singularidade e orientação positiva. Quando a isso não temos nenhum problema.

Passo 2

Uma vez conferida as condições, nosso teorema é o:

Onde ∂ D   será a união entre a curva γ e a reta r que utilizaremos para fechar a curva γ .

Então o teorema será escrito como:

∫ γ F   d r   + ∫ r F   d r =   ∬ D r o t F d x d y  

Passo 3

Vamos então começar calculando a integral dupla.

F = e x + ln ⁡ 1 + y 2 , 1 + 2 x y 1 + y 2

r o t F = ∂ F 2 ∂ x - F 1 ∂ y

r o t F = 2 y 1 + y 2 - ( 1 1 + y 2   2 y )

r o t F = 0

Opa, isso já dá uma facilitada na nossa vida, uma vez que a integral dupla vai toda ser igual a zero.

Passo 4

Partindo agora então pra integral de linha, vamos começar parametrizando uma reta que liga os pontos (2,0) e (0,0), então vamos lembrar de mudar o sinal na integral.

r t = t ,   0

0 ≤ t ≤ 2

Termo ds:

r ' t = 1,0

Campo em função da parametrização:

F r t = ( e t + ln ⁡ 1 ,   1 )  

F r t = ( e t ,   1 )

Montando então a integral (sem esquecer de trocar o sinal por conta do sentido de giro).

- ∫ 0 2 e t , 1 1,0 d t

- ∫ 0 2 e t d t

= - ( e 2 - 1 )  

Passo 5

Voltando então ao teorema:

∫ γ F   d r   + ∫ r F   d r =   ∬ D r o t F d x d y

∫ γ F   d r   - e 2 - 1 = 0

∫ γ F   d r   = e 2 - 1

Resposta

e 2 - 1  

Exercícios de Livros Relacionados

Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2