Exercícios Resolvidos de Desempenho de Aletas

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Enunciado

Uma barra de diâmetro D = 25   m m e condutividade térmica k = 60   W . m - 1 . K - 1 se projeta na direção normal, a partir de uma parede de uma fornalha que está a uma temperatura T w = 200 o C e é coberta com um isolamento de espessura L i = 200   m m . A barra é soldada à parede da fornalha e é utilizada como um gancho para suporte de cabos de instrumentação. Para evitar danos aos cabos, a temperatura da barra em sua superfície exposta ( T o ) deve ser mantida abaixo do limite de operação especificado de T o , m a x = 100 o C . A temperatura do ar ambiente é T ∞ = 25 o C é o coeficiente de convecção,   h = 15   W . m - 2 . K - 1 .

Calcule a temperatura T o   da superfície exposta em função dos parâmetros térmicos e geométricos dados. A barra possui um comprimento exposto de L o = 200   m m e sua extremidade é bem isolada. Verifique se a temperatura ultrapassa o limite.

Passo 1

Antes de partir pros cálculos, bora entender a situação? No problema, a gente tem uma aleta de seção uniforme circular, em que parte dela está isolada e parte dela pode trocar calor. Além disso, sua extremidade também está isolada!

Como o forno é a região mais quente da situação, esperamos que o fluxo saia de sua parede em sentido do ar ambiente.

Mas, como a parte inicial da aleta está isolada, a energia é transportada somente por condução incialmente ao longo da aleta e, depois, ela passa a ser transportada por condução até o final, mas também é liberada por convecção para o ambiente na região sem isolamento. Entendido?

Bom, no problema, a temperatura de toda a barra não deve ultrapassar os 100 o C . Mas se a gente garantir que a temperatura logo após o isolamento é menor que 100 o C , então garantimos que toda a barra estará numa temperatura menor que 100 o C .

Isso acontece porque ao longo da barra, ela troca calor com o ambiente e a temperatura vai diminuindo.

Passo 2

Beleza! Entendido o problema, a gente pode então usar nossa estratégia de montar o circuito térmico pra achar a temperatura T o :

Como a taxa é constante ao longo de todo o circuito, a gente tem duas formas de se fazer a questão pelo menos:

I) Por meio das equações analíticas da taxa de calor de aletas

A gente sabe que a taxa de calor que passa por uma aleta de seção uniforme com extremidade adiabática (caso B ) é dada por:

q a = M . tanh ⁡ ( m L )

Em que:

M = h . P . k . A c . T o - T ∞                         e                         m = h . P k . A c

Como a taxa é constante, a gente pode escrever que:

q = M . tanh ⁡ ( m L ) = ( T w - T o ) R c o n d

Substituindo a expressão de M :

h . P . k . A c . T o - T ∞ . tanh ⁡ m . L = ( T w - T o ) R c o n d

Nessa equação, a única incógnita é a temperatura T o e a gente consegue resolver!

Passo 3

A segunda forma de fazer a questão é:

II) Por meio dos gráficos de eficiência.

Se a taxa é constante, então a taxa de calor que passa pelo trecho isolado é igual à taxa que passa por todo o sistema:

q = ( T w - T o ) R c o n d = T w - T ∞ R c o n d + R t , a

Isolando a temperatura T o na equação, a gente fica com:

T o = T w - R c o n d . T w - T ∞ R c o n d + R t , a

Em que as temperaturas T w e T ∞ são conhecidas e as resistências são calculadas por:

R c o n d = L i k . A c                   e                     R t , a = 1 h . A a . η a

E, assim, a gente pode calcular cada uma das resistências pra determinar a temperatura T o . Daí pra calcular a R t , a , a gente precisaria da eficiência ( η a ), que é obtida por um dos gráficos que vimos na teoria!

Passo 4

Aqui vou fazer com vocês a resolução pela equação analítica, que é sempre mais preciso usar equações do que gráficos! Recapitulando, a gente descobriu a seguinte equação: h . P . k . A c . T o - T ∞ . tanh ⁡ m . L = ( T w - T o ) R c o n d

Então, bora calcular o que dá pra calcular, como: o perímetro P , o valor de m e a resistência por condução R c o n d .

O perímetro é dado por:

P = π . D                       →                       P = π . 0,025   m                       →                       P = 0,0785   m

E o valor de m é dado abaixo:

m = h . P k . A c

Em que a área A c é a área transversal da aleta, ou seja, a área de um círculo como diâmetro D ! Sendo assim:

m = 15   W . m - 2 . K - 1 . 0,0785   m 60   W . m - 1 . K - 1 . π . 0,025   m 2 4

m = 6,3245   m - 1

Agora, a gente pode calcular a resistência de condução:

R c o n d = L i k . A c

Substituindo os valores:

R c o n d = 0,200   m 60   W . m - 1 . K - 1 . π . 0,025   m 2 4

R c o n d = 6,791   K . W - 1

Passo 5

Pronto! Substituindo todos os valores conhecidos, ficamos com:

M . tanh ⁡ ( 6,3245 ) . ( 0,200   m ) = [ ( 473   K ) - T o ] 6,791   K . W - 1

M . 0,8524 = [ ( 473   K ) - T o ] ( 6,791   K . W - 1 )

Em que, o valor de M será:

M = 15 W m 2 . K . 0,0785   m . 60 W m . K . π . 0,025   m 2 4 . T o - 298   K

M = 0,1862 . T o - 298   K

Dessa maneira, substituindo na equação:

M . 0,8524 = [ ( 473   K ) - T o ] ( 6,791   K . W - 1 )

0,1862 . T o - 298   K . 0,8524 = [ ( 473   K ) - T o ] ( 6,791   K . W - 1 )

Reorganizando a equação:

1,0778 . T o - 298   K = [ ( 473   K ) - T o ]

Isolando a temperatura:

T o = 3 82 , 2   K

Isso equivale a cerca de 109,1 o C . Logo, a temperatura vai ultrapassar o limite estabelecido de 100 o C .

Resposta

A temperatura T o equivale, em graus Celsius, a 109,1 o C . Logo, a temperatura vai ultrapassar o limite estabelecido de 100 o C .

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