Exercícios Resolvidos de Desempenho de Aletas

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Enunciado

Tubos de aço utilizados no transporte de água pressurizada são unidos por flanges de espessura t = 15   m m . Os diâmetros interno e externo dos tubos são D i = 120   m m e D e = 150   m m , respectivamente, e o diâmetro externo dos flanges é D f = 250   m m .

Em condições normais de operação, a superfície interna do tubo encontra-se a uma temperatura de T s ,   i = 300 o C , enquanto o ar ambiente está a T ∞ = 20 o C . Se o coeficiente de convecção nas superfícies dos flanges é h = 10   W . m - 2 . K - 1 , qual a perda de calor através dos flanges? Considere a condutividade térmica do tubo e do flange iguais a k = 40   W . m - 1 . K - 1 .

Passo 1

Pra achar a taxa de calor que é perdida pelo sistema, bora dar uma olhadinha na vista lateral do desenho aqui embaixo:

O que tá acontecendo nesse problema? A superfície mais interna do sistema está bem quente ( T s , i ) e tem um fluido a temperatura ambiente do lado de fora ( T ∞ ). Dessa forma, a gente espera que haja um fluxo de calor de dentro pra fora.

A presença dos flanges acaba tendo a função de uma aleta, pois aumenta a área de troca térmica para o ambiente externo. Então, é só a gente fazer usar as fórmulas de aletas! ^^

Já que não há geração em nenhum dos materiais, a gente pode usar a estratégia do circuito térmico! Ficaria da seguinte maneira:

Então, a taxa de calor pode ser escrita em função das resistências:

q = ( T s , i -   T ∞ ) R t , p + R t , a

Em que as resistências térmicas de condução na parede cilíndrica ( R t , p ) e no flange ( R t , a ) são calculadas por:

R t , p = ln ⁡ D e D i 4 π . k . t                   e                       R t , a = 1 h . A a . η a

Passo 2

Bora calcular as resistências! Primeiro com a que a gente já tá mais acostumado:

  • Resistência térmica de condução na parede cilíndrica:
  • R t , p = ln ⁡ D e D i 4 π . k . t

    Substituindo os valores do enunciado:

    R t , p = ln ⁡ ( 0,015   m ) ( 0,012   m ) 4 π . 40   W . m - 1 . K - 1 . 0,015   m                  

    R t , p = 0,0 296   K . W - 1

    Passo 3

    Agora, vamos à resistência que mais interessa:

  • Resistência térmica de uma aleta anular simples (flange):

R t , a = 1 h . A a . η a

Da expressão aqui em cima, a gente só sabe o coeficiente h , mas precisamos determinar a área ( A a ) e eficiência da aleta ( η a ).

A área da aleta é essa área aqui em vermelho:

Então, a gente pode escrever que:

A a = A l a t e r a l + 2 . A d i s c o

Mas a gente pode usar aquela estratégia do raio corrigido ( r 2 c ), que é quando a gente assume que a contribuição da área lateral é adicionada à área do disco. Sendo assim:

A a = 2 . A d i s c o c

A a = 2 . π . r 2 c 2 - π . D e 2 4

A a = 2 π . r 2 c 2 - D e 2 4

Em que:

r 2 c = D f 2 + t ' 2               →             r 2 c = 0,250   m 2 + 2 . 0,015   m 2                   →               r 2 c = 0,140   m

Substituindo os valores do enunciado:

A a = 2 π . 0,140   m 2 - 0,150   m 2 4

A a = 0,0878   m 2

Passo 3

Agora só falta a eficiência ( η a )! Pra calcular a eficiência desse formato de aleta (anular), a gente tem que utilizar o gráfico que já vimos:

Para determinar a eficiência, a gente precisa então saber qual das quatro curvas representa a nossa aleta e calcular com o valor desse eixo x aí loucão. Então, bora lá!

Bora calcular o valor de x do gráfico:

x = L c 3 / 2 . h k . A p 1 / 2

Em que L c e A p são calculados pelas expressões mostradas no gráfico:

L c = L + t 2  

L c = 0,250 - 0,150   m 2 + 2 . 0,015   m 2

L c = 0,065   m

Além disso:

A p = L c . t '

A p = 0,065   m . 2 . 0,015   m

A p = 0,00195   m ²

Ufa! Agora a gente pode finalmente calcular o valor de x:

x = 0,065   m 3 / 2 . 10   W . m - 2 . K - 1 40   W . m - 1 . K - 1 . 0,00195   m 2 1 / 2

x = ~ 0,188

Pra saber qual das curvas serve pra gente, precisamos calcular a razão entre os raios:

r 2 c r 1 = 0,1 40   m 0,075   m                     →                             r 2 c r 1 = ~ 1 , 87

Agora vamos voltar para o gráfico.

Passo 4

Não tem nenhuma curva com o valor que encontramos, mas a gente pode colocar mais ou menos entre as curvas de razão igual a 1 e 2 , um pouco mais próximo da curva de 2 .

Agora a gente já pode marca no gráfico a posição da abscissa e ver a eficiência correspondente:

Concluimos, assim, que:

η a = 0,96

Passo 5

Com a área e eficiência calculadas, a gente pode finalmente determinar a resistência térmica da aleta:

R t , a = 1 h . A a . η a

R t , a = 1 10   W . m - 2 . K - 1 . 0,0878   m 2 . 0,96

Logo:

R t , a = 1,1864   K . W - 1

Passo 6

Prontinho! Agora ficou fácil calcular a taxa de calor:

q = ( T s , i -   T ∞ ) R t , p + R t , a

q = 573 - 293   K 0 , 0296 + 1,1864 K . W - 1

q = 230,3   W

Resposta

q = 23 0,3   W

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