Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Função Vetorial

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Enunciado

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas da nossa função num ponto qualquer r , s , t ∈ R ³

F ' r , s , t = ∂ f 1 ∂ r ∂ f 1 ∂ s ∂ f 1 ∂ t ∂ f 2 ∂ r ∂ f 2 ∂ s ∂ f 2 ∂ t

F ' r , s , t = - 1 r - t 2 0 1 r - t 2 - s r + t 2 1 r + t - s r + t 2

Passo 2

Agora observa uma coisa:

As funções que compõe essa matriz de derivadas ou são funções constantes, ou são funções compostas por polinômios (nesse caso, são racionais).

E funções racionais são funções de classe C 1 no seu domínio.

E o domínio é:

D o m = { r , s , t ∈ R 3   ;   r ≠ t   e   r ≠ - t }

Então, como ser de classe C 1 é condição suficiente para ser diferenciável, temos que essa função é diferenciável em todos os pontos de seu domínio.

Assim, ela não é diferenciável somente quando r = t e r = - t .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Prove: b )lim X → P ⁡ F X = L ↔ lim X → P ⁡ F X - L = 0 .
Determine a derivada da função vetorial. r t = 1 1 + t i + t 1 + t j + t 2 1 + t k
Prove: lim X → P ⁡ F X = 0 → ↔ lim X → P ⁡ F X = 0 → .0 →éov e t o rn u l od eR m é
Suponha que lim X → P ⁡ F ( X ) = L ,c o mL ≠ 0 . Prove que existe r0 tal que: 0X - Pr → F XL 2
Sejam F : Ω ⊂ R n → R m e seja P um ponto de acumulação de Ω . Suponha que exista M0 tal que, para todo X ∈ Ω , F X - LM X - P , onde L ∈ R m é um vetor fixo. Calcule lim X → P ⁡ F ( X ) e justifique.