Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Função Vetorial

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Enunciado

Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais:

  1. F x , y , z = s e n y z i + s e n z x j + s e n ( x y ) k

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Para calcularmos o Divergente do nosso campo vetorial, vamos ter que fazer:

d i v   F = ∇ . F = d F 1 d x + d F 2 d y + d F 3 d z

E para calcularmos o Rotacional do nosso campo vetorial, vamos ter que fazer:

r o t   F = ∇ × F = i j k d x d y d z F 1 F 2 F 3 = d F 3 d y - d F 2 d z i - d F 3 d x - d F 1 d z j + d F 2 d x - d F 1 d y k

Com isso vamos poder calcular.

Passo 2

Vamos começar calculando o Divergente:

d i v   F = ∇ . F = d F 1 d x + d F 2 d y + d F 3 d z

F x , y , z = s e n y z i + s e n z x j + s e n ( x y ) k

Vamos dizer que:

F 1 = s e n y z

F 2 = s e n z x

F 3 = s e n ( x y )

Calculando as derivadas da fórmula:

d F 1 d x = 0

d F 2 d y = 0

d F 3 d z = 0

Jogando na fórmula:

d i v   F = ∇ . F = d F 1 d x + d F 2 d y + d F 3 d z = 0

Podemos dizer com isso que o campo é solenoidal.

Passo 3

Agora vamos calcular o rotacional:

r o t   F = ��� × F = i j k d x d y d z F 1 F 2 F 3 = d F 3 d y - d F 2 d z i - d F 3 d x - d F 1 d z j + d F 2 d x - d F 1 d y k

F x , y , z = s e n y z i + s e n z x j + s e n ( x y ) k

Se derivarmos e substituirmos:

r o t   F = ∇ × F = i j k d x d y d z F 1 F 2 F 3 = x cos ⁡ x y - x c o s ⁡ ( z x ) i - z cos ⁡ x y - y cos ⁡ y z j + z cos ⁡ z x - z cos ⁡ y z k

r o t   F = x cos ⁡ x y - x c o s ⁡ ( z x ) i - z cos ⁡ x y - y cos ⁡ y z j + z cos ⁡ z x - z cos ⁡ y z k

Resposta

d i v   F = y z

r o t   F = x cos ⁡ x y - x c o s ⁡ ( z x ) i - z cos ⁡ x y - y cos ⁡ y z j + z cos ⁡ z x - z cos ⁡ y z k

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