Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Função Vetorial

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Enunciado

(Cap. 13.2 – Ex.49) Determine f ' ( 2 ) , onde f t = u t ⋅ v t ,   u 2 = 1,2 , - 1 , u ' 2 = 3,0 , 4 e v t = t , t 2 , t 3 .

Passo 1

Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?

Primeira coisa que precisamos fazer é interpretar o tipo de função que precisamos diferenciar (derivar). Levando em consideração que u e v são funções, podemos definir que há uma multiplicação entre funções.

Para esse caso, vamos utilizar a fórmula do produto entre funções do Teorema de Diferenciais: Suponha que u e v sejam funções vetoriais diferenciáveis, c um escalar e f uma função real. Então,

d d t u t ⋅ v t = u ' t ⋅ v t + u t ⋅ v ' ( t )

Não se esqueça disso! Se as duas funções estão sendo multiplicadas, a derivada é: U linha vezes V mais U vezes V linha.

Passo 2

O exercício pede pra gente calcular o f ' ( 2 ) . Mas o que isso significa?

f ' é a derivada da função f , ou seja, a derivada de u t * v ( t ) . E esse 2 entre parênteses significa que colocaremos esse valor em cada uma das variáveis t . Isso nos trará um valor real para a função encontrada.

Para acharmos f ' precisamos encontrar u ' ,   v ,   u   e   v ' , bem como conversamos no passo 1.

O exercício já nos deu, u 2 , u ' 2 e v ( t ) , então falta agora encontrar v 2   e   v ' ( 2 ) .

Para o v ( 2 ) faremos o seguinte:

Sabemos que

v t = t , t 2 , t 3

Então, sabemos que

v 2 = 2,2 2 , 2 3

⇒ v 2 = 2,4 , 8 ,

inserimos o 2 em cada variável t .

Agora, precisamos calcular v ' ( t ) . Para isso, faremos a derivada que cada ítem dentro das chaves de maneira individual:

v ' t = 1,2 t , 3 t 2

E, assim, inserindo o 2 em cada variável t encontramos o v ' ( 2 ) :

v ' 2 = 1,2 ⋅ 2,3 ⋅ 2 2 = 1,4 , 12

Passo 3

Ok, agora podemos substituir na formulinha:

f ' 2 = u ' 2 ⋅ v 2 + u 2 ⋅ v ' 2 = 3,0 , 4 ⋅ 2,4 , 8 + 1,2 , - 1 ⋅ 1,4 , 12

Aplicaremos multiplicação distributiva e somaremos tudo:

f ' 2 = 6 + 0 + 32 + 1 + 8 - 12 = 35

Viu só? Doce como o mel...

Bora resolver mais uma?

Resposta

f ' 2 = 35

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