Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Função Vetorial

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Enunciado

Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais:

  1. F x , y , z = x y z i - x ² y k

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Para calcularmos o Divergente do nosso campo vetorial, vamos ter que fazer:

d i v   F = ∇ . F = d F 1 d x + d F 2 d y + d F 3 d z

E para calcularmos o Rotacional do nosso campo vetorial, vamos ter que fazer:

r o t   F = ∇ × F = i j k d x d y d z F 1 F 2 F 3 = d F 3 d y - d F 2 d z i - d F 3 d x - d F 1 d z j + d F 2 d x - d F 1 d y k

Com isso vamos poder calcular.

Passo 2

Vamos começar calculando o Divergente:

d i v   F = ∇ . F = d F 1 d x + d F 2 d y + d F 3 d z

F x , y , z = x y z i - x ² y k

Vamos dizer que:

F 1 = x y z

F 2 = 0

F 3 = - x ² y

Calculando as derivadas da fórmula:

d F 1 d x = y z

d F 2 d y = 0

d F 3 d z = 0

Jogando na fórmula:

d i v   F = ∇ . F = d F 1 d x + d F 2 d y + d F 3 d z = y z

Passo 3

Agora vamos calcular o rotacional:

r o t   F = ∇ × F = i j k d x d y d z F 1 F 2 F 3 = d F 3 d y - d F 2 d z i - d F 3 d x - d F 1 d z j + d F 2 d x - d F 1 d y k

F x , y , z = x y z i - x ² y k

Se derivarmos e substituirmos:

r o t   F = ∇ × F = i j k d x d y d z F 1 F 2 F 3 = - x ² - 0 i - - 2 x y - x y j + 0 - x z k

r o t   F = ∇ × F = i j k d x d y d z F 1 F 2 F 3 = - x ² i + 3 x y j - x z k

r o t   F = ( - x 2 ,   3 x y , - x z )

Resposta

d i v   F = y z

r o t   F = ( - x 2 ,   3 x y , - x z )

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