Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Função Vetorial

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Enunciado

A superfície de nível da função f x , y , z = x y z + x 3 + y 3 + z 3 + 3 que contém o ponto ( 2,1 - 2 ) é o gráfico de uma função z = g ( x , y ) , diferenciável numa vizinhança de ( 2,1 ) . O polinômio de Taylor de ordem 1 para g ( x , y ) , em torno do ponto ( 2,1 ) é:

Escolha uma opção:

a) P ( x , y ) = - 2 - 1 14 x - 2 + 5 7 y - 1

b) P ( x , y ) = 2 - 5 7 x - 2 + 1 14 y - 1

c) P ( x , y ) = 2 - 1 14 x - 2 + 5 7 y - 1

d) P ( x , y ) = - 2 - 5 7 x - 2 + 1 14 y - 1

e) P ( x , y ) = 1 - 1 14 x - 2 + 5 7 y - 1

Passo 1

Salve galera! Vamos lá resolver essa questão. Primeiro a questão nos entrega que

z = g ( x , y )

É uma superfície de nível da função:

f x , y , z = x y z + x 3 + y 3 + z 3 + 3

Que contém o ponto:

( 2,1 , - 2 )

Para superfícies de nível, precisamos primeiro saber em que “nível” isso acontece, ou em que altura isso acontece. Para isso, poremos inferir que, ao aplicar a função no ponto:

g 2,1 = - 2

Para

x = 2 , y = 1 , z = - 2

E ao aplicarmos esses valores na função:

f 2 , 1 , - 2 = 2 ⋅ 1 ⋅ - 2 + 2 3 + 1 3 + - 2 3 + 3 = 0

Ocorre que o nível:

f x , y , z = 0

Ou seja, o nível aonde a superfície se encontra é 0.

Passo 2

Bem, vocês lembram como é o formato da expansão em série de Taylor de z = g ( x , y ) , de primeira ordem? Caso não, vou trazer pra vocês:

z = g x , y = g x 0 , y 0 + d g d x x o , y 0 ⋅ x - x 0 + d g d y x o , y 0 ⋅ y - y 0

Em torno do ponto:

( x 0 , y 0 )

Aplicando para os moldes da nossa questão:

z = g x , y = g 2 , 1 + d g d x 2 , 1 ⋅ x - 2 + d g d y 2,1 ⋅ y - 1

Desenvolvendo:

= - 2 + d g d x ( 2,1 ) x - 2 + d g d y 2,1 ⋅ y - 1

Passo 3

Show, agora só resta encontrar esses termos:

d g d x ( 2,1 )

E:

d g d y 2,1

Eles são as derivadas parciais da função g ( x , y ) em relação a x ou a y . Para a primeira, temos:

d g d x 2,1 = y z + x d g d x + 3 x 2 + 3 z 2 d z d x = 0

Para x , y , z = ( 2,1 , - 2 ) :

d g d x = - 5 7

Para a Segunda, temos:

d g d y 2,1 = x z + y d g d y + 3 y 2 + 3 z 2 d z d y = 0

Para x , y , z = ( 2,1 , - 2 ) :

d g d y = 1 14

Passo 4

Portanto,

z = g x , y = - 2 + d g d x ( 2,1 ) x - 2 + d g d y 2,1 ⋅ y - 1

Substituindo pelos valores que encontramos no passo 3:

z = g x , y = - 2 - 5 7 x - 2 + 1 14 y - 1

Portanto, a letra d é a correta!

E é isso! WE DID IT!!!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

d )

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