Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Função Vetorial

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 10, Questão 14

14. Se a função f aplicada em um vetor não nulo r = X     R n é uma função real do seu comprimento r = r , isto é, f r = g r e se g é diferenciável,

a) mostre que f r = g ' r r r

b) determine f r quando i   g r = 1 r 3   i i g r = ln r

Passo 1

a) Mostrar f r = g ' r r r

Sabemos que

r = X = x 1 , x 2 , , x n

f r = g r

Então:

f r = g r

Sabemos calcular g r :

g r = g r r x 1 + g r r x 2 + + g r r x n = g r r x 1 + r x 2 + + r x n

Ajeitando temos:

g r = g ' r r x 1 + r x 2 + + r x n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como r = x 1 2 + x 2 2 + + x n 2 podemos calcular suas derivadas parciais fica:

g r = g ' r 1 2 x 1 2 + x 2 2 + + x n 2 2 x 1 + 1 2 x 1 2 + x 2 2 + + x n 2 2 x 2 + + 1 2 x 1 2 + x 2 2 + + x n 2 2 x n

Substituindo r temos:

g r = g ' r 1 r x 1 + 1 r x 2 + + 1 r x n

Colocando em evidência e ajeitando:

g r = g ' r r x 1 + x 2 + + x n = g ' r r . r

Portanto, está provado que f r = g ' r r r

Passo 3

b) i)

g r = 1 r 3

g ' r = - 3 r 4

Então

f r = g ' r r r

Substituindo temos:

f r = - 3 r 5 r

Passo 4

b) ii)

g r = ln r

g ' r = 1 r

Então

f r = g ' r r r

Substituindo temos:

f r = 1 r 2 r

Resposta

B)

i )   f r = - 3 r 5 r

i i ) f r = 1 r 2 r

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