Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Função Vetorial

UFF, Cálculo IIB, lista 10, exercício 9.

Mostre que a função

f x , y = x y - 1 x 2 + y - 1 2 , x 3 x 2 + y 2 , x - 1 4 x - 1 2 + y 2  

Se x , y 0,0 ,   x , y 1,0 ,   x , y 0,1  

f 0,0 = 0,0 , 1

f 1,0 = - 1 2 , 1,0

f 0,1 = 0,0 , 1 2  

É diferenciável ou, se não for diferenciável, indique em que pontos não é diferenciável.

Passo 1

Bom, vemos que essa função tem definições diferentes nos pontos

x , y 0,0 e x , y = 0,0

x , y 1,0 e x , y = 1,0

x , y 0,1 e x , y = 0,1

Então parece uma boa testar a diferenciabilidade em cada um desses pontos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar pelo ponto ( 0,1 ) :

E vamos primeiro testar a continuidade da função nesse ponto.

Para a função ser contínua, todas as suas funções componentes tem que ser contínuas nesse ponto. Começando pela primeira componente:

f 1 x , y = x y - 1 x 2 + y - 1 2

Para ela ser contínua,

lim x , y 0,1 x y - 1 x 2 + y - 1 2 = f 1 0,1 = 0

Se fizermos a substituição, vamos chegar na indeterminação 0 0 .

Se você observar, o grau do numerador é menor que o grau do denominador, então esse limite tá com a maior cara de que não existe.

Pra provar isso, vamos testar calcular o limite por caminhos diferentes e vê no que dá.

Primeiro pelo caminho x = t e y = 1 .

lim t 1 t 1 - 1 t 2 + 1 - 1 2 = 0

Agora pelo caminho x = t e y = t + 1 :

lim t 0 t ( t + 1 ) - 1 t 2 + ( t + 1 ) - 1 2 = lim t 0 t ² t 2 + t ² = lim t 0 t ² 2 t ² = 1 2

Opa, calculando o limite por dois caminhos diferentes, eles deram valores diferentes, ou seja, esse limite realmente não existe.

Assim, como já na primeira componente vimos que ela não é contínua em ( 0,1 ) , então nossa função vetorial não é continua nesse ponto.

Se ela não é sequer continua, então ela também não pode ser diferenciável em ( 0,1 ) .

Passo 3

Beleza, agora vamos para o ponto ( 1,0 )

Mas, antes de tudo, vamos calcular a derivada da nossa função:

f ' x , y = y - 1 - 2 x x 2 + y - 1 2 2 x - 2 y - 1 x 2 + y - 1 2 2 3 x 2 - 2 x x 2 + y 2 2 - 2 x 3 y x 2 + y 2 2 4 x - 1 3 - 2 x - 1 x - 1 2 + y 2 2 - 2 y x - 1 4 x - 1 2 + y 2 2

X 0 = ( 1,0 )

H = ( h 1 , h 2 )

Então

H = h 1 2 + h 2 2

F X 0 = f 1,0 = - 1 2 , 1,0

f ' 1 , 0 = - 3 2 3 2 1 0 0 0

Substituindo no limite:

lim h 1 , h 2 ( 0,0 ) f 1 + h 1 , 0 + h 2 - f 1,0 - - 3 2 3 2 1 0 0 0 . h 1 h 2 h 1 2 + h 2 2

lim h 1 , h 2 ( 0,0 ) ( 1 + h 1 ) h 2 - 1 ( 1 + h 1 ) ² + h 2 - 1 2 1 + h 1 3 ( 1 + h 1 ) ² + h 2 2 1 + h 1 - 1 4 1 + h 1 - 1 2 + h 2 2 - - 1 2 1 0 - - 3 2 3 2 1 0 0 0 . h 1 h 2 h 1 2 + h 2 2

lim h 1 , h 2 ( 0,0 ) ( 1 + h 1 ) h 2 - 1 ( 1 + h 1 ) ² + h 2 - 1 2 1 + h 1 3 ( 1 + h 1 ) ² + h 2 2 h 1 4 h 1 2 + h 2 2 - - 1 2 1 0 - - 3 2 h 1 + 3 2 h 2 h 1 0 h 1 2 + h 2 2

lim h 1 , h 2 ( 0,0 ) ( 1 + h 1 ) h 2 - 1 ( 1 + h 1 ) ² + h 2 - 1 2 1 + h 1 3 ( 1 + h 1 ) ² + h 2 2 h 1 4 h 1 2 + h 2 2 - - 1 2 + 3 2 h 1 - 3 2 h 2 1 - h 1 0 h 1 2 + h 2 2

Passo 4

Beleza, agora vamos para o ponto ( 0,0 )

A derivada da nossa função é:

f ' x , y = y - 1 - 2 x x 2 + y - 1 2 2 x - 2 y - 1 x 2 + y - 1 2 2 3 x 2 - 2 x x 2 + y 2 2 - 2 x 3 y x 2 + y 2 2 4 x - 1 3 - 2 x - 1 x - 1 2 + y 2 2 - 2 y x - 1 4 x - 1 2 + y 2 2

Para

X 0 = ( 0,0 )

H = ( h 1 , h 2 )

Então

H = h 1 2 + h 2 2

F X 0 = f 0,0 = ( 0,0 , 1 )

f ' 0,0 = 0 - 1 0 0 - 2 0

Substituindo no limite:

lim h 1 , h 2 ( 0,0 ) f 0 + h 1 , 0 + h 2 - f 0,0 - 0 - 1 0 0 - 2 0 . h 1 h 2 h 1 2 + h 2 2

lim h 1 , h 2 ( 0,0 ) h 1 h 2 - 1 h 1 2 + h 2 - 1 2 h 1 3 h 1 2 + h 2 2 h 1 - 1 4 h 1 - 1 2 + h 2 2 - 0 0 1 - 0 - 1 0 0 - 2 0 . h 1 h 2 h 1 2 + h 2 2

lim h 1 , h 2 ( 0,0 ) h 1 h 2 - 1 h 1 2 + h 2 - 1 2 h 1 3 h 1 2 + h 2 2 h 1 - 1 4 h 1 - 1 2 + h 2 2 - 0 0 1 - - h 2 0 - 2 h 1 h 1 2 + h 2 2

lim h 1 , h 2 ( 0,0 ) h 1 h 2 - 1 h 1 2 + h 2 - 1 2 h 1 3 h 1 2 + h 2 2 h 1 - 1 4 h 1 - 1 2 + h 2 2 - h 2 0 2 h 1 h 1 2 + h 2 2

Passo 5

Para todos os outros pontos que não são esses que a gente já calculou, repara uma coisa.

A matriz das derivadas é

f ' x , y = y - 1 - 2 x x 2 + y - 1 2 2 x - 2 y - 1 x 2 + y - 1 2 2 3 x 2 - 2 x x 2 + y 2 2 - 2 x 3 y x 2 + y 2 2 4 x - 1 3 - 2 x - 1 x - 1 2 + y 2 2 - 2 y x - 1 4 x - 1 2 + y 2 2

E todas as funções componentes são funções racionais. E funções racionais são de classe C 1 no seu domínio.

Repare que os pontos problemáticos seriam justamente aqueles que a gente já testou nos passos anteriores. Então para todos os outros pontos, podemos dizer que a função é diferenciável, pois ela é de classe C 1 .

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