Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Função Vetorial

UFF, Cálculo IIB, lista 10, exercício 11.

Mostre que a função

f r , s , t = 1 r - t s r + t    

É diferenciável ou, se não for diferenciável, indique em que pontos não é diferenciável.

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas da nossa função num ponto qualquer r , s , t R ³

F ' r , s , t = f 1 r f 1 s f 1 t f 2 r f 2 s f 2 t

F ' r , s , t = - 1 r - t 2 0 1 r - t 2 - s r + t 2 1 r + t - s r + t 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

-

Agora observa uma coisa:

As funções que compõe essa matriz de derivadas ou são funções constantes, ou são funções compostas por polinômios (nesse caso, são racionais).

E lembra que eu falei lá na teoria que funções racionais são funções de classe C 1 no seu domínio?

De fato são, mas o domínio é:

D o m = { r , s , t R 3   t q   r t   e   r - t }

Então, como ser de classe C 1 é condição suficiente para ser diferenciável, temos que essa função é diferenciável em todos os pontos de seu domínio.

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