Exercícios Resolvidos de Difusão com Reação Química

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Enunciado

Considere um reator catalítico onde se realiza uma reação irreversível do tipo:

2 A → 1 B

Imagine que a partícula catalítica esteja rodeada por uma película gasosa através do qual difunde o reagente A até alcançar a superfície não-porosa do catalisador. Suponhamos que a reação ocorra instantaneamente sobre a superfície do catalisador e que o produto “B” difunda no sentido contrário do reagente “A”. Considerando o processo de transferência de massa em regime permanente e a T e P constantes e que a reação ocorra sobre uma superfície plana do catalisador, determine o perfil da fração molar e o fluxo molar do soluto “A” em função da espessura da película gasosa “ δ ”.

Passo 1

Show de bolinhas! Então nós temos uma superfície catalítica, estilo plana plana, onde ocorre a reação:

2 A → 1 B

Certo? E nosso enunciado pede pra gente o perfil da fração molar e o fluxo molar, sendo a pressão e a temperatura constantes… Humm… Nossa solução então deve obedecer a seguinte equação:

∂ C A ∂ t + ᐁ ⋅ N A = R A "

∂ C A ∂ t + ∂ N A , x ∂ x + ∂ N A , y ∂ y + ∂ N A , z ∂ z = R A "

Mas tá enorme isso aí, né? Vamos fazer algumas considerações, beleza?

A primeira é que estamos trabalhando em regime permanente, então: ∂ C A ∂ t = 0 ;

A segunda é que o fluxo de A , vai ser apenas na direção z , então: ∇ ⋅ N A = ∂ N A ,   z ∂ z ;

E a terceira é que não temos reação química homogênea, logo: R A " = 0

Com essas considerações nossa equação, vai ficar com essa cara aqui:

∂ N A ,   z ∂ z = 0

Teremos assim, um fluxo total até a superfície do catalisador, igual a:

N A ,   z =   - C D A B d y A   d z + y A ( N A ,   z + N B ,   z )

E pela estequiometria da nossa reação, temos:

N B ,   z =   - 1 2 N A ,   z

E substituindo isso ali em cima, vamos ter:

N A ,   z =   - C D A B d y A   d z + y A ( N A ,   z - 1 2 N A ,   z )

Arrumando essa equação, teremos:

N A ,   z =   - C D A B d y A   d z + y A ⋅ N A ,   z - y A 2 N A ,   z

N A ,   z =   - C D A B d y A   d z + y A 2 N A ,   z

N A ,   z - y A 2 N A ,   z =   - C D A B d y A   d z

N A ,   z ⋅ 1 - y A 2 =   - C D A B d y A   d z

Ficamos então com:

N A ,   z =   - C D A B 1 - y A 2 ⋅ d y A d z

E como vimos que ∂ N A ,   z ∂ z = 0 , ficamos com:

d d z   - C D A B 1 - y A 3 ⋅ d y A d z = 0

E como nosso enunciado disse que temos pressão e temperatura constantes, nosso C e D A B , também vão ser constantes, logo:

d d z   - 1 1 - y A 2 ⋅ d y A d z = 0

Integrando isso aí, vamos ficar com:

∫ d d z   - 1 1 - y A 2 ⋅ d y A d z = 0

1 1 - y A 2 ⋅ d y A d z = C 1

E integrando novamente:

∫ d y A 1 - y A 2 = C 1 ∫ d z

Ficaremos então, com:

- 2 l n 1 - y A 2 = C 1 z + C 2

Passo 2

Agora vamos aplicar algumas condições de contorno! A primeira é que:

Em: z = 0   →   y A = y A ,   0

Opa! Então vamos ter que:

- 2 l n 1 - y A ,   0 2 = C 1 ⋅ 0 + C 2

Vamos ter então:

C 2 =   - 2 l n 1 - y A ,   0 2

E usando a segunda condição de contorno, devido a reação ser instantânea, temos que:

Em: z = δ   →   y A = 0

Isso quer dizer que:

- 2 l n 1 - 0 = C 1 ⋅ δ + C 2

Substituindo o C 2 que já encontramos, ficaremos com:

C 1 = 2 l n 1 - y A ,   0 2 δ

Agora vamos substituir C 1 e C 2 na equação que a gente tinha antes, teremos então:

- 2 l n 1 - y A 2 = 2 l n 1   -   y A , 0 2 δ ⋅ z - 2 l n 1 - y A , 0 2

Vamos dividir todos os termos por 2 para simplificar, ok?

- l n 1 - y A 2 = l n 1   -   y A , 0 2 δ ⋅ z - l n 1 - y A , 0 2

- l n 1 - y A 2 =   - 1   -   z δ ⋅ l n 1 - y A , 0 2

E pela “regra do peteleco”:

l n 1 - y A 2 = l n 1 - y A , 0 2 1   -   z δ

Show! Vamos ficar então:

1 - y A 2 = 1 - y A ,   0 2 1 - z δ

Opa! Já encontramos a expressão para o perfil da fração molar! Agora falta o fluxo N A ,   z … Vamos nessa!

Passo 3

Se a gente considerar um fluxo constante sobre a superfície do catalisador, vamos ter:

N A ,   z =   - C ⋅ D A ,   B 1 - y A 2 ⋅ d y A d z = contante

Integrando a gente vai ficar com:

N A ,   z ∫ 0 δ d z =   - C ⋅ D A ,   B ∫ y A ,   0 0 d y A 1 - y A 2

N A ,   z ⋅ δ =   - C ⋅ D A ,   B ⋅ - 2 l n 1 - y A 2 y A ,   0 0

N A ,   z ⋅ δ =   - 2 ⋅ C ⋅ D A ,   B ⋅ l n 1 - 0 - l n 1 - y A ,   0 2

Nosso fluxo, será então:

N A ,   z =   - 2 ⋅ C ⋅ D A ,   B δ ⋅ l n 1 - y A ,   0 2

Conseguimos!!

Resposta

Perfil da fração molar: 1 - y A 2 = 1 - y A ,   0 2 1 - z δ

Fluxo de N A ,   z : N A ,   z =   - 2 ⋅ C ⋅ D A ,   B δ ⋅ l n 1 - y A ,   0 2

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