Exercícios Resolvidos de Difusão com Reação Química

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Enunciado

Uma partícula de carbono em forma de esfera queima no ar através da seguinte reação química:

C S + O 2   g + N 2   g → C O 2   g + N 2   g

A reação na superfície do carbono é descrita como sendo irreversível e de primeira ordem:

R O 2 " =   - N O 2 ,   r = k S ⋅ C O 2

Considerando que o processo de transferência de massa ocorra em regime permanente e a T e P constante, determine o perfil de fração molar do oxigênio y O 2 em função do raio da partícula esférica (   r   ) e o fluxo molar do oxigênio na superfície da partícula de carbono.

Passo 1

Bom, como a nós temos uma partícula que é esférica vamos usar a equação em coordenadas esféricas, ok? Olha ela aqui:

∂ C A ∂ t + 1 r 2 ⋅ ∂ r 2 N A ,   r ∂ r + 1 r ⋅ s e n   θ ⋅ ∂ s e n   θ ⋅ N A ,   θ ∂ θ + 1 r ⋅ s e n   θ ⋅ ∂ N A ,   φ ∂ φ = R A "

Fazendo algumas considerações…

Como estamos trabalhando em regime permanente, então: ∂ C A ∂ t = 0 ;

O fluxo é radial e unidirecional, então: ∇ ⋅ N A = ∂ r 2 N A ,   r ∂ r ;

E como temos um meio difusivo e não reacional: R A " = 0

Com essas considerações nossa equação, vai ficar com essa cara aqui:

1 r 2 ⋅ ∂ r 2 N A ,   r ∂ r = 0

A equação reacional é:

Temos então:

Como C é sólido, então: N C ,   r = 0

E tendo a partícula estagnada, então: N B ,   r = 0

Sendo assim, ficamos com:

N A ,   r =   - N D ,   r

Logo, o fluxo total de O 2 , em meio gasoso, fica:

N A ,   r =   - C D A D d y A   d r + y A ( N A ,   r + N D ,   r )

E se N A ,   r + N D ,   r = 0 , então ficamos com:

N A ,   r =   - C D A D d y A   d r

E substituindo isso ali em cima, vamos ter:

1 r 2 ⋅ ∂ ∂ r - r 2   C D A D d y A   d r = 0

Como o enunciado disse pra gente que estamos trabalhando com pressão e temperatura constantes, então sabemos que C e D A D também são constantes, a equação vai fica então:

1 r 2 ⋅ ∂ ∂ r r 2 d y A   d r = 0

Integrando isso aí, vamos ficar com:

∫ d d r   r 2   d y A   d r = 0

r 2 ⋅ d y A d r = C 1

E integrando novamente:

∫ d y A = C 1 ∫ d r r 2

Ficaremos então, com:

y A =   - C 1 r + C 2

Passo 2

Agora é a hora de estabelecer nossas condições de contorno, pra que a gente descubra quem são C 1 e C 2

A nossa primeira condição de contorno é que:

Em: r = ∞   →   y A = 0,21

Temos então:

0,21 =   - 0 + C 2

Sendo assim:

C 2 = 0,21

E usando a segunda condição de contorno:

Em: r = R   →   y A =   - N A ,   r k S ⋅ C

Isso quer dizer que:

- N A ,   r k S ⋅ C =   - C 1 R + C 2

Substituindo o C 2 que já encontramos, ficaremos com:

- N A ,   r k S ⋅ C =   - C 1 R + 0,21

O C 1 será então:

C 1 = R ⋅ 0,21 + R ⋅ N A ,   r k S ⋅ C

Agora vamos substituir C 1 e C 2 na equação que a gente tinha antes, ficaremos com:

y A =   - R ⋅ 0,21 + R ⋅ N A ,   r k S ⋅ C r + 0,21

Rearranjando, temos:

y A =   - R r ⋅ 0,21 - R r ⋅ N A ,   r k S ⋅ C + 0,21

O perfil da fração molar, será então:

y A =   0,21 - R r ⋅ N A ,   r k S ⋅ C + 0,21

Agora partiu achar o fluxo N A ,   r !

Passo 3

Se a gente considerar um fluxo total constante em r = R , vamos ter:

N A ,   r = N A ,   r | r = R = constante

Sendo x a área da esfera, ficaremos com:

4 ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ N A ,   r = 4 ⋅ π ⋅ R 2 ⋅ N A ,   r | r = R = constante

Agora vamos multiplicar a equação que a gente tinha antes pela área da esfera:

N A ,   r =   - C D A D d y A   d r ⋅ x ⋅ 4 ⋅ π ⋅ r 2

Ficaremos com:

4 ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ N A ,   r = 4 ⋅ π ⋅ R 2 ⋅ N A ,   r | r = R =   - 4 ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ C D A D d y A   d r

R 2 ⋅ N A ,   r | r = R =   r 2 ⋅ C D A D d y A   d r

Integrando a gente vai ficar com:

R 2 ⋅ N A ,   r | r = R ∫ r → ∞ r = R d r r 2 =   - C ⋅ D A D ∫ y A = 0,21 y A =   - N A ,   r | r = R k S ⋅ C d y A

R 2 ⋅ N A ,   r | r = R - 1 r r → ∞ r = R =   - C ⋅ D A D y A 0,21   - N A ,   r | r = R k S ⋅ C

R 2 ⋅ N A ,   r | r = R - 1 R + 1 ∞ =   - C ⋅ D A D   - N A ,   r | r = R k S ⋅ C - 0,21

R ⋅ N A ,   r | r = R =   - D A D ⋅ N A ,   r | r = R k S - C ⋅ D A D ⋅ 0,21

Nosso fluxo, será então:

N A ,   r | r = R =   - C ⋅ D A D ⋅ 0,21 R   +   D A D k S

Show de bola! E a gente ainda pode substituir o fluxo no perfil de fração molar e ficar com:

y A =   0,21 - R r ⋅ - C ⋅ D A D ⋅ 0,21 k S ⋅ C ⋅ R   +   D A D k S + 0,21

Reorganizando e fazendo as simplificações necessárias, ficamos com:

y A =   0,21 - R r ⋅ - D A D ⋅ 0,21 k S ⋅ R   +   D A D + 0,21

Logo, nosso perfil de fração molar ficará:

y A =   0,21 1 - R r ⋅ 1 - 1 1 + k S ⋅ R D A D

Prontinhos! Terminamos!

Resposta

Perfil da fração molar: y A =   0,21 1 - R r ⋅ 1 - 1 1 + k S ⋅ R D A D

Fluxo: N A ,   r | r = R =   - C ⋅ D A D ⋅ 0,21 R   +   D A D k S

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