Exercícios Resolvidos de Difusão com Reação Química

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Enunciado

Considere um reator catalítico onde se realiza uma reação irreversível do tipo:

2 A → 1 B

Imagine que a partícula catalítica esteja rodeada por uma película gasosa através do qual difunde o reagente A até alcançar a superfície não-porosa do catalisador. Suponhamos que a velocidade com que o reagente A desaparece na superfície catalítica seja dada por:

R A " = N _ A ,   z | z = S = k S ⋅ C A = C ⋅ k S ⋅ y A

Considerando o processo de transferência de massa em regime permanente e a T e P constantes e que a reação ocorra sobre uma superfície plana do catalisador, determine o perfil da fração molar e o fluxo molar do soluto “A” em função da espessura da película gasosa “ δ ”.

Passo 1

Temos uma superfície catalítica, estilo plana plana, onde ocorre a reação:

2 A → 1 B

E essa reação não é instantânea, nosso enunciado pede pra gente o perfil da fração molar e o fluxo molar, sendo a pressão e a temperatura constantes. Nossa solução deve obedecer a seguinte equação:

∂ C A ∂ t + ∂ N A , x ∂ x + ∂ N A , y ∂ y + ∂ N A , z ∂ z = R A "

Fazendo as considerações necessária, vamos ter:

Como estamos trabalhando em regime permanente, então: ∂ C A ∂ t = 0 ;

O fluxo de A , vai ser apenas na direção z , então: ∇ ⋅ N A = ∂ N A ,   z ∂ z ;

E como não temos reação química homogênea, logo: R A " = 0

Com essas considerações nossa equação, vai ficar com essa cara aqui:

∂ N A ,   z ∂ z = 0

Logo, o fluxo total até a superfície do catalisador fica:

N A ,   z =   - C D A B d y A   d z + y A ( N A ,   z + N B ,   z )

E pela estequiometria da nossa reação, temos:

N B ,   z =   - 1 2 N A ,   z

E substituindo isso ali em cima, vamos ter:

N A ,   z =   - C D A B d y A   d z + y A ( N A ,   z - 1 2 N A ,   z )

Arrumando essa equação, teremos:

N A ,   z =   - C D A B d y A   d z + y A ⋅ N A ,   z - y A 2 N A ,   z

N A ,   z =   - C D A B d y A   d z + y A 2 N A ,   z

N A ,   z - y A 2 N A ,   z =   - C D A B d y A   d z

N A ,   z ⋅ 1 - y A 2 =   - C D A B d y A   d z

Ficamos então com:

N A ,   z =   - C D A B 1 - y A 2 ⋅ d y A d z

E como vimos que ∂ N A ,   z ∂ z = 0 , ficamos com:

d d z   - C D A B 1 - y A 3 ⋅ d y A d z = 0

E como nosso enunciado disse que temos pressão e temperatura constantes, nosso C e D A B , também vão ser constantes, logo:

d d z   - 1 1 - y A 2 ⋅ d y A d z = 0

Integrando isso aí, vamos ficar com:

∫ d d z   - 1 1 - y A 2 ⋅ d y A d z = 0

1 1 - y A 2 ⋅ d y A d z = C 1

E integrando novamente:

∫ d y A 1 - y A 2 = C 1 ∫ d z

Ficaremos então, com:

- 2 l n 1 - y A 2 = C 1 z + C 2

Passo 2

Até aqui nada era muito novo porque a gente já tinha visto nos outros exercícios, né? Mas agora nossas condições de contorno mudaram… Vamos lá ver o que vai acontecer de diferente!

A nossa primeira condição de contorno é que:

Em: z = 0   →   y A = y A ,   0

Temos então:

- 2 l n 1 - y A ,   0 2 = C 1 ⋅ 0 + C 2

Sendo assim:

C 2 =   - 2 l n 1 - y A ,   0 2

E usando a segunda condição de contorno, como não temos uma reação instantânea, será:

Em: z = δ   →   y A = N A ,   z C ⋅ k S

Isso quer dizer que:

- 2 l n 1 - N A ,   z C ⋅ k S = C 1 ⋅ δ + C 2

Substituindo o C 2 que já encontramos, ficaremos com:

- 2 l n 1 - N A ,   z C ⋅ k S = C 1 ⋅ δ - 2 l n 1 - y A ,   0 2

- 2 l n 1 - N A ,   z C ⋅ k S + 2 l n 1 - y A ,   0 2 = C 1 ⋅ δ

O C 1 será então:

C 1 = 2 l n 1 - y A ,   0 2 - 2 l n 1 - N A ,   z C ⋅ k S δ

Agora vamos substituir C 1 e C 2 na equação que a gente tinha antes, ficaremos com:

- 2 l n 1 - y A 2 = 2 l n 1 - y A ,   0 2 - 2 l n 1 - N A ,   z C ⋅ k S δ ⋅ z - 2 l n 1 - y A ,   0 2

Dividindo todos os termos por 2 e rearranjando, temos:

- l n 1 - y A 2 + l n 1 - y A ,   0 2 = z δ ⋅ l n 1 - y A ,   0 2 - z δ ⋅ l n 1 - N A ,   z C ⋅ k S

E multiplicando por - 1 , para trocar o sinal de todo mundo:

l n 1 - y A 2 - l n 1 - y A ,   0 2 =   - z δ ⋅ l n 1 - y A ,   0 2 + z δ ⋅ l n 1 - N A ,   z C ⋅ k S

Aplicando agora a regra de logaritmos nessas subtrações:

l n 1 - y A 2 1 - y A ,   0 2 =   z δ ⋅ l n 1 - N A ,   z C ⋅ k S 1 - y A ,   0 2

E aplicando a regra do peteleco, ficamos com:

l n 1 - y A 2 1 - y A ,   0 2 = l n 1 - N A ,   z C ⋅ k S 1 - y A ,   0 2 z δ

Tirando os logaritmos da jogada, teremos finalmente, o perfil da fração molar, sendo ele:

1 - y A 2 1 - y A ,   0 2 = 1 - N A ,   z C ⋅ k S 1 - y A ,   0 2 z δ

Agora partiu achar o fluxo N A ,   z !

Passo 3

Se a gente considerar um fluxo constante sobre a superfície do catalisador, vamos ter:

N A ,   z =   - C ⋅ D A ,   B 1 - y A 2 ⋅ d y A d z = contante

Integrando a gente vai ficar com:

N A ,   z ∫ 0 δ d z =   - C ⋅ D A ,   B ∫ y A ,   0 N A ,   z / C ⋅ k S d y A 1 - y A 2

N A ,   z ⋅ δ =   - C ⋅ D A ,   B ⋅ - 2 l n 1 - y A 2 y A ,   0 N A ,   z / C ⋅ k S

N A ,   z ⋅ δ =   2 ⋅ C ⋅ D A ,   B ⋅ l n 1 - N A ,   z C ⋅ k S - l n 1 - y A ,   0 2

Nosso fluxo, será então:

N A ,   z = 2 ⋅ C ⋅ D A ,   B δ ⋅ l n 1 - N A ,   z C ⋅ k S 1 - y A ,   0 2

Tranquilo? Arrasamos!

Resposta

Perfil da fração molar: 1 - y A 2 1 - y A ,   0 2 = 1 - N A ,   z C ⋅ k S 1 - y A ,   0 2 z δ

Fluxo de N A ,   z : N A ,   z = 2 ⋅ C ⋅ D A ,   B δ ⋅ l n 1 - N A ,   z C ⋅ k S 1 - y A ,   0 2

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