Exercícios Resolvidos de EDOs Lineares

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Enunciado

Ache a solução geral da equação seguinte:

x y ' + 2 y = x 2 - x + 1

Passo 1

Temos aqui uma EDO linear. Bom, para resolver essa EDO, precisamos deixar na nossa forminha de bolo de EDO linear que eu vou te lembrar aqui rapidinho:

y ' + A x y = B ( x )

x y ' + 2 y = x 2 - x + 1

Para isso precisamos deixar y ' sozinho, então vamos dividir tudo por x .

x y ' x + 2 y x = x 2 x - x x + 1 x

Cortando os x que aparecem em cima e embaixo, temos que:

y ' + 2 x y = x - 1 + 1 x

Show de bola. Conseguimos deixar com o formato de uma EDO linear. Vamos lembrar como resolvemos esses caras.

Passo 2

Como temos uma EDO de primeira ordem linear, vamos resolver pelo método do fator integrante. Comparando com a forma habitual, temos:

y ' + A x y = B ( x )

y ' + 2 x y = x - 1 + 1 x

A x = 2 x

B x = x - 1 + 1 x

Passo 3

Vamos começar achando ∫ A x d x . Essa integral não precisa do + C , ok.

∫ A x d x = ∫ 2 x d x

Podemos tirar o 2 da integral porque ele é uma constante, então ficamos com

∫ A x d x = 2 ∫ 1 x d x

Lembrando que a ∫ 1 x d x = ln ⁡ x , temos que:

∫ A ( x ) d x = 2 l n ⁡ ( x )

Passo 4

Agora que temos ∫ A x d x podemos achar o nosso fator integrante, que é desse jeitinho

I x = e ∫ A x d x

I x = e 2 ln ⁡ x

Podemos simplificar desse jeitinho aqui:

I x = ( e ln ⁡ x ) 2      

E como e x   e l n ⁡ ( x ) são funções inversas, um anula o outro, então e ln ⁡ x é igual ao próprio x , então ficamos apenas com:

I x = x 2

Passo 5

Agora precisamos calcular ∫ I x B x d x . Substituindo:

∫ x 2 x - 1 + 1 x d x

Vamos fazer a distributiva, ficando com

∫ ( x 3 d x - x 2 + x 2 x ) d x = ∫ x 3 - x 2 + x d x

Para ficar mais tranquilinho, vamos separar essa integral em 3 integrais mais fáceis, assim:

∫ x 3 d x - ∫ x 2 d x + ∫ x d x  

Ai, lembrando que ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 ,   temos que:

∫ I x B x d x = x 4 4 - x 3 3 + x 2 2

Passo 6

Agora que já temos a integral, vamos colocar na fórmula da solução geral.

Usando a nossa fórmula

y x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + C

y x = 1 x 2 x 4 4 - x 3 3 + x 2 2 + C

Fazendo a distributiva, temos que

y x = x 4 4 x 2 - x 3 3 x 2 + x 2 2 x 2 + C x 2

Podemos simplificar os x , diminuindo os expoentes do numerador com os do denominador

y ( x ) = x 4 - 2 4 - x 3 - 2 3 + x 2 - 2 2 + C x 2

E finalmente teremos nossa solução geral:

y = x 2 4 - x 3 + 1 2 + C x 2

Resposta

y = x 2 4 - x 3 + 1 2 + C x 2