Exercícios Resolvidos de EDOs Lineares

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Enunciado

Analise a seguinte equação e diga se ela é linear de primeira ordem, em caso afirmativo, encontre sua solução geral.

x 3 y ' + 4 x 2 y + e x = 0

Passo 1

Opa, fala aii! Vamos lá resolver nossa EDO!

A primeira coisa é identificar se nossa equação é linear de primeira ordem. Os pré-requisitos para isso são:

Para ser de primeira ordem a derivada de maior ordem deve ter ordem 1.

x 3 y ' + 4 x 2 y + e x = 0

Ok, de primeira ordem ela é. Mas para ser linear:

  1. Tanto as derivadas de y quanto o próprio y não podem estar elevados ao quadrado, cubo ou qualquer outro expoente diferente de 1.
  2. Os coeficientes que aparecem multiplicando as derivadas de y e o próprio y dependem apenas de x .

Está tudo de acordo! Sendo assim, temos sim uma equação linear de primeira ordem.

Passo 2

Agora vamos resolvê-la. Essa é uma EDO é linear de primeira ordem,

x 3 y ' + 4 x 2 y = - e x

Então, vamos começar dividindo toda a equação por x 3

y ' + 4 x   y = - e x x 3

A equação da EDO Linear é desse jeitão aqui:

y ' x + A x y x = B ( x )

Passo 3

Agora, vamos identificar A x e B ( x ) comparando nossa equação ao formato que temos:

y ' + 4 x   y = - e x x 3

y ' x + A x y x = B ( x )

Vemos que:

A x = 4 x

B x = - e x x 3

Passo 4

Identificamos qual tipo de equação temos e já achamos quem são A x e B ( x ) . O próximo passo é calcular a integral

∫ A x d x = ∫ 4 x   d x

∫ 4 x   d x = 4 ∫ 1 x   d x

Resolvendo ficamos com:

∫ A x d x = 4 ln ⁡ x

Que pode ser escrita como:

∫ A x d x = ln ⁡ x 4

Passo 5

A próxima coisa é calcular o fator integrante

I x = e ∫ A x d x

No nosso caso

I x = e ln ⁡ x 4

Como a exponencial é o inverso do ln ⁡ ,   os dois se cancelam, sobrando apenas:

I x = x 4

Passo 6

Agora precisamos calcular a integral

∫ I x B ( x ) d x = ∫ x 4 - e x x 3 d x

Podemos cortar os x ' s do numerador e denominador, ficando com:

∫ I x B ( x ) d x = - ∫ x e x d x

Vamos agora resolver essa integral usando o método da integração por partes. Pra isso fazemos:

u = x

d u = d x

d v = e x d x

v = e x

Usando a fórmula da integração por partes

∫ x e x d x = u v - ∫ v d u

∫ x e x d x = x   e x - ∫ e x d x

∫ x e x d x = x e x - e x

Então nossa integral ficou

∫ I x B ( x ) d x = - ∫ x e x d x

∫ I x B ( x ) d x = - ( x e x - e x )

∫ I x B ( x ) d x = - x e x + e x

Passo 7

Agora só falta colocar tudo na fórmula da solução geral

y x = 1 I x ∫ I x B ( x ) d x + C

Já achamos os termos

I x = x 4

∫ I x B ( x ) d x = - x e x + e x

Colocando isso na nossa fórmula, temos:

y x = 1 x 4 - x e x + e x + C

Pronto! Resolvida a nossa equação!

Resposta

y x = 1 x 4 - x e x + e x + C