Exercícios Resolvidos de EDOs Lineares

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Enunciado

Encontre a solução do PVI abaixo:

x 2 y ' + x y = 1 y 1 = 0 x > 0

Passo 1

Bom, temos ali uma EDO linear pra resolver. Então vamos começar colocar a equação na forma

y ' x + A x y = B ( x )

x 2 y ' + x y = 1

Para que o coeficiente do termo y ' seja 1 devemos dividir tudo por x 2 :

⇒ 1 x 2 ( x 2 y ' + x y ) = 1 x 2

Como colocamos o termo x 2 no denominador, temos que dizer que é diferente de zero:

x 2 ≠ 0

⇒ x ≠ 0

Mas como no próprio enunciado do problema já diz que x > 0 , então tudo em paz! E é só pra isso que essa informação está no enunciado, tá! Então não precisamos mais nos preocupar com ela. x já não poderia ser zero de qualquer maneira!

Com isso, teremos:

⇒ y ' x 2 x 2 + x x 2 y = 1 x 2

Podemos simplificar as potências de x   e ficamos com:

⇒ y ' + 1 x y = 1 x 2

Legal! Chegamos à forma que queríamos!

Passo 2

O próximo passo é encontrar A ( x ) e B ( x ) :

Comparando as duas equações:

y ' x + A x ⋅ y x = B ( x ) y ' x + 1 x ⋅ y x = 1 x 2

Vemos que:

⇒ A x = 1 x B x = 1 x 2

Passo 3

Agora vamos calcular a integral ∫ A x d x sem adicionar a constante:

∫ A x d x = ∫ 1 x d x = ln ⁡ | x |

Como o enunciado diz, x > 0 , então podemos tirar as barrinhas de módulo, pois x = x .

Então, nesse caso temos que

⇒ ∫ A x   d x = ln ⁡ x

Passo 4

Show, estamos indo bem! Vamos agora calcular I x , que é dado por:

I x = e ∫ A x d x = e ln ⁡ x

Como e e ln ⁡ x são funções inversas, elas “se anulam” e o resultado é o que está dentro do ln ⁡ , no caso é x , então temos que:

⇒ I x = x

Passo 5

Próximo passo é calcular ∫ B x ⋅ I x d x + C

Substituindo o que já conhecemos, teremos:

∫ B ( x ) ⋅ I ( x ) d x = ∫ 1 x 2 . x ⋅ d x

Podemos cortar o x com o x 2 do denominador ficando com

⇒ ∫ 1 x d x = ln ⁡ x

Então, temos que:

⇒ ∫ B ( x ) ⋅ I ( x ) d x = ln ⁡ x + C

Passo 6

Agora que já calculamos tudo, é só colocar na nossa formulinha da solução geral e partir para o abraço!

y x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x

⇒ y x = 1 x ln ⁡ x + c

Passo 7

Mas calma aí, nossa questão ainda não acabou, nesse caso o enunciado nos dá um valor inicial, ele diz que y 1 = 0 , isso quer dizer que quando x = 1 , y = 0 .

Essa solução que a gente acho aí é uma solução geral. Então vamos substituir todos os x por 1 e todos os y por 0 para achar quanto vale a nossa constante!

y 1 = 0

Substituindo x = 1 na solução geral:

0 = 1 1 ln ⁡ 1 + C

Lembrando que ln ⁡ 1 = 0 , teremos:

0 = 1 ( 0 + C )

0 = C

⇒ C = 0

Substituindo a C na solução geral:

y x = 1 x ( ln ⁡ x + C )

⇒ y x = 1 x ln ⁡ x

Só uma observação antes de terminar: não é sempre que a nossa constante vai dar zero beleza? Nesse caso deu por coincidência, mas ele pode ser qualquer outro valor, por isso não podemos esquecer dele 😊

Resposta

y x = 1 x ln ⁡ x