Exercícios Resolvidos de EDOs Lineares

Ver Teoria

Enunciado

Identifique se a equação abaixo é uma equação linear de primeira ordem. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral.

d y d x - y tan ⁡ x = sen ⁡ x

Passo 1

Fala aii! Vamos partir pra cima de mais uma questão!!

A primeira coisa é identificar se nossa equação é linear de primeira ordem. Os pré-requisitos para isso são:

Para ser de primeira ordem a derivada de maior ordem deve ter ordem 1.

d y d x - y tan ⁡ x = sen ⁡ ( x )

Ok, de primeira ordem ela é. Mas para ser linear:

  1. Tanto as derivadas de y quanto o próprio y não podem estar elevados ao quadrado, cubo ou qualquer outro expoente diferente de 1.
  2. Os coeficientes que aparecem multiplicando as derivadas de y e o próprio y dependem apenas de x .

Está tudo de acordo, então temos uma equação linear de primeira ordem.

Passo 2

Agora vamos resolvê-la. Essa é uma EDO linear, então vamos usar o nosso famoso formato

y ' x + A x y = B ( x )

Lembrando que y ' ( x ) é a mesma coisa que d y d x

d y d x - t a n ⁡ ( x ) y = sen ⁡ ( x )

Vamos identificar A x e B ( x )

A x = - tan ⁡ x

B x = sen ⁡ x

Passo 3

Identificamos qual tipo de equação temos e já achamos quem são A x e B ( x ) . O próximo passo é calcular a integral

∫ A x d x = ∫ - tan ⁡ x   d x

Vamos precisar lembrar que tan ⁡ x = s e n x cos ⁡ x , ficando com

∫ - tan ⁡ x   d x = ∫ - sen ⁡ x cos ⁡ ( x )   d x

Agora para resolver essa integral vamos precisar lembrar do método de integração chamado de substituição simples, ele é feito assim:

u = cos ⁡ x

d u = - sen ⁡ x d x

d x = - d u s e n x

Agora vamos substituir c o s ⁡ ( x ) por u e d x por - d u s e n x na integral, fica assim:

∫ - s e n x u - d u s e n x

A gente pode ver que podemos cortar os s e n ( x ) e, os sinais de –   se anulam.

Então ficamos com

∫ d u u = ln ⁡ u

Maaas não podemos esquecer que u = c o s ⁡ ( x ) , então nossa integral fica:

∫ A x d x = ln ⁡ cos ⁡ x

Passo 4

A próxima coisa é calcular o fator integrante

I x = e ∫ A x d x

No nosso caso

I x = e ln ⁡ cos ⁡ x

Como e e ln ⁡ são funções inversas, elas se anulam e o resultado é o que está dentro do ln ⁡ , ou seja c o s ⁡ ( x )

I x = cos ⁡ ( x )

Passo 5

Agora precisamos calcular a integral

∫ I x B x d x + C

Como I x = c o s ⁡ ( x ) e B x = s e n ( x ) , temos

∫ cos ⁡ ( x ) sen ⁡ ( x ) d x + C

Vamos de novo resolver utilizando substituição simples

u = sen ⁡ x

d u = cos ⁡ x d x

d x = d u cos ⁡ x

Substituindo na integral temos que:

∫ cos ⁡ x ⋅ u ⋅ d u cos ⁡ x + C

Podemos cortar os c o s ⁡ ( x ) , ficando com:

∫ u   d u = u 2 2 + C

Lembrando de novo que temos que voltar a substituição u = s e n x , então

∫ I x B ( x ) d x = sen 2 ⁡ x 2 + C

Passo 6

Ufa, agora só falta colocar tudo na formulinha:

y x = 1 I x ∫ I x B ( x ) d x + C

y x = 1 cos ⁡ x sen 2 ⁡ x 2 + C

Lembrando que 1 cos ⁡ x = sec ⁡ x

y x = sec ⁡ x sen 2 ⁡ x 2 + C

Fazendo C = 2 C 2 , podemos reescrever a função desse jeito:

y x = 1 2 s e c ⁡ ( x ) ( s e n 2 x + 2 C )

Mas como C é uma constante qualquer podemos considerar 2 C como constante também, aí chegamos ao nosso resultado:

y x = 1 2 sec ⁡ x ( s e n 2 x + C )

Pronto! Resolvida a nossa equação.

Resposta

Sim, ela é uma equação linear de primeira ordem, e sua solução geral é:

y x = 1 2 sec ⁡ x ( s e n 2 x + C )