Exercícios Resolvidos de EDOs Lineares

Ver Teoria

Enunciado

Resolva o problema de valor inicial:

y - 1 x ' - 3 x = y - 1 5 ,         x 1 = 16

Passo 1

Opaaa, vamos que vamos pra reta final das nossas EDOs Lineares!

A primeira cosia que precisamos é determinar que tipos de EDO é essa.

y - 1 x ' - 3 x = y - 1 5

Se dividirmos a equação inteira por ( y - 1 ) , ficamos com

x ' - 3 x y - 1 = y - 1 4

Perceba que essa equação está no formato

y ' x + A x y x = B ( x )

Então agora já sabemos o mecanismo para resolver. A única diferença é que as variáveis estão trocadas, mas isso não vai interferir no método de resolução.

Passo 2

Primeiro precisamos identificar A y e B ( y ) , comparando a equação que temos com o formato das EDOs Lineares, temos que:

A y = - 3 ( y - 1 )

B y = y - 1 4

Passo 3

O próximo passo é calcular a integral

∫ A y d y = ∫ - 3 ( y - 1 )   d y

= - 3 ∫ 1 ( y - 1 ) d y

Vamos utilizar a substituição

u = ( y - 1 )

d u = d y

Então ficamos com

- 3 ∫ d u u = - 3 ln ⁡ u

Que podemos reescrever assim:

= ln ⁡ u - 3

E voltando para variável y , fica:

= ln ⁡ y - 1 - 3

Então achamos nossa integral! Só pra ficar bonitinho, tá aqui ela

∫ A y d y = ln ⁡ y - 1 - 3

Repara que y - 1 tá dentro do logaritmo! Precisamos ter:

y - 1 > 0

y > 1

Passo 4

A próxima coisa é calcular o fator integrante

I y = e ∫ A y d y

No nosso caso

I y = e ln ⁡ y - 1 - 3

Como a exponencial é o inverso do ln ⁡ ,   podemos cancelar os dois, sobrando só:

I y = y - 1 - 3

Passo 5

Agora precisamos calcular a integral

∫ I y B y d y

= ∫ y - 1 - 3 y - 1 4 d y

Uhul, mesma base, só somar os expoentes, que nos dará:

= ∫ ( y - 1 ) d y

Bem mais tranquilo, né?

Podemos separar em duas integrais

∫ ( y - 1 ) d y = ∫ y   d y - ∫ d y

Integrando ficamos com

∫ I y B ( y ) d y = y 2 2 - y

Passo 6

E agora só falta colocar tudo na solução geral:

y x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + C

Sendo que

I x = y - 1 - 3

∫ I y B ( y ) d y = y 2 2 - y

Então temos:

x y = 1 y - 1 - 3 y 2 2 - y + C

Que pode ser escrito como:

x y = y - 1 3 y 2 2 - y + C

Passo 7

Maaas, temos um caso de Problema de valor inicial.

x - 1 = 16

Aplicando na nossa solução substituindo o y por - 1 e o x por 16 .

x - 1 = - 1 - 1 3 ( - 1 ) 2 2 - ( - 1 ) + C

16 = - 8 1 2 + 1 + C

A gente faz isso pra descobrir qual o valor da constante C . Então isolando ela, nós teremos:

3 2 + C = - 2

C = - 2 - 3 2

C = - 7 2

Então, nossa solução final é

x y = y - 1 3 y 2 2 - y - 7 2

Resposta

x y = y - 1 3 y 2 2 - y - 7 2