Exercícios Resolvidos de EDOs Lineares

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Enunciado

Resolva o Problema de Valor Inicial:

y ' - x y = 1 - x 2 e 1 2 x 2 ,       y 0 = 0

Passo 1

Oiee! Essa questão parece muito sinistra, mas não precisa se preocupar! Com o nosso passo a passo vamos perceber que ela não é um monstro de 7 cabeças.

Temos aqui uma EDO linear de primeira ordem que tem esse formato aqui

y ' = A x y = B ( x )

Show! Nossa equação é

y ' - x y = 1 - x 2 e x 2 2

Comparando essas equações temos que:

A x = - x

B x = 1 - x 2 e x 2 2

Vamos partir para o método.

Passo 2

Vamos começar calculando a ∫ A x d x

∫ A ( x ) d x = ∫ - x d x

∫ A ( x ) d x = - x 2 2

Passo 3

E, como I x = e ∫ A x d x

I x = e - x 2 2

Não tem muito o que mexer, vamos deixar assim mesmo!

Passo 4

Agora vamos passar para o próximo passo que é calcular ∫ I x B x d x

∫ I x B x d x = ∫ e - x 2 2 1 - x 2 e x 2 2 d x

Como a gente tem dois e elevados a alguma coisa vamos juntar eles e somar os expoentes

∫ e - x 2 2 + x 2 2 1 - x 2 d x

Opa, eles vão zerar, que beleza! Então vamos ficar com

∫ e 0 1 - x 2 d x

Como e 0 = 1 , que nos dá:

∫ 1 - x 2 d x

Podemos separar em duas integrais:

∫ 1 d x - ∫ x 2 d x

E resolvendo teremos:

∫ I x B x d x = x - x 3 3

Passo 5

Agora que já achamos todas os nossos coeficientes, vamos lembrar a fórmula que vai dar a nossa solução geral.

y x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + C

Substituindo o que encontramos nos outros passo e lembrando que C é uma constante real.

y x = 1 e - x 2 2 x - x 3 3 + C

Lembrando que se temos algo assim

2 x - 2

Podemos escrever como

2 x 2

Então, podemos passar esse e - x 2 2 para cima mudando o sinal do expoente, ficando com

y x = e x 2 2 x - x 3 3 + C

Passo 6

Show achamos a equação geral, mas a nossa jornada ainda não acabou, porque temos um Problema de Valor Inicial, que diz que y 0 = 0 , ou seja, quando x = 0 , temos que y = 0 . Então, vamos substituir esses valores na nossa equação para encontrar o valor da constante C .

0 = 1 . 0 - 0 3 3 + C

C = 0

Agora a gente pega a solução geral que tínhamos e substitui o valor de C que acabamos de encontrar.

Logo a solução do PVI será

y x = e x 2 2 x - x 3 3

Só uma observação antes de terminar: não é sempre que a nossa constante vai dar zero beleza? Nesse caso deu por coincidência, mas ele pode ser qualquer outro valor, por isso não podemos esquecer dele 😊

Resposta

y x = e x 2 2 x - x 3 3