Exercícios Resolvidos de EDOs Lineares

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Enunciado

Resolva a seguinte equação diferencial linear:

d y d x + y x - cotg ⁡ x x = 0

Passo 1

Oii! Vamos continuar os estudos em Equação Diferencial LinearVamos começar colocando a equação na forma y ' x + A x ⋅ y = B ( x ) , lembrando que y ' x = d y d x

Se liga no bizu: a função cotg ⁡ x tem pontos de descontinuidade, para fugir dessas descontinuidades vamos considerar o intervalo 0 < x < π 2 .

Isso porque um parcela de continuidade da cotg ⁡ x seria de 0 < x < π , mas estou pegando um intervalo positivo para facilitar nossa vida.

Então temos:

y ' x + 1 x ⏟ A x y = cotg ⁡ x x ⏟ B x

Passo 2

Encontramos A ( x ) e B ( x )

A x = 1 x B x = cotg ⁡ x x

Passo 3

Vamos então calcular a integral ∫ A x d x sem adicionar a constante e achar I x = e ∫ A x d x

∫ A x d x = ∫ 1 x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ | x |

Mas opa, vimos lá no início que:

0 < x < π 2

Então, como x é sempre positivo, podemos tirar as barrinhas do módulo de x .

x = x

Então:

∫ A ( x ) d x = ln ⁡ x

Passo 4

Agora vamos achar I x , sendo:

I x = e ∫ A x d x

I x = e l n ⁡ ( x )

Como e e ln ⁡ são funções inversas, elas “se anulam” e o resultado é o que está dentro de ln ⁡ ,   nesse caso o prórprio x , então:

I x = x

Passo 5

Agora vamos calcular a integral ∫ I x ⋅ B x d x + C

∫ cotg ⁡ x x ⋅ x d x + C

Podemos cortar esses x e, lembrar que

c o t g x = 1 t g x

Lembrando lá da trigonometria, temos que:

t g x = s e n x cos ⁡ x

Então:

c o t g x = 1 t g x = 1 s e n x cos ⁡ x

Passamos o c o s ⁡ ( x ) para o numerador, ficamos com:

c o t g x = 1 t g x = 1 s e n x c o s x =   cos ⁡ x s e n x

Assim nossa integral se torna:

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x + C

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição simples:

t = sen ⁡ ( x )

d t = cos ⁡ ( x ) d x

d x = d t cos ⁡ x

Substituindo na integral:

∫ cos ⁡ x t d t cos ⁡ x

Podemos cortar os c o s ⁡ ( x ) e ficamos com

∫ 1 t d t = ln ⁡ t + C

Mas como t = s e n ( x ) , voltamos para a variável x dá integral:

∫ I x ⋅ B x d x = l n ⁡ ( s e n x ) + C

Passo 6

Ufaa! Agora que já temos tudo calculadinho, vamos colocar na nossa fórmula da equação diferencial linear e substituir pelo que já encontramos:

y x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + C

y x = 1 x ⋅ l n ⁡ ( s e n x ) + C

É isso ai galera! Vamos treinar pra ficar fera!

Resposta

y x = 1 x ⋅ l n ⁡ ( s e n x ) + C