Exercícios Resolvidos de EDOs Lineares

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Enunciado

Resolva a seguinte equação diferencial:

y ' + cos ⁡ x y = 5 cos ⁡ x

Passo 1

A gente tem uma equação que parece muuuuito esse formato aqui

y ' + A x y = B ( x )

Que é exatamente o formato da EDO Linear!

Já está na forma certa! Vamos então resolver!

Passo 2

A primeira coisa que fazemos quando percebemos que temos uma EDO linear de primeira ordem é identificar quem é o A ( x ) e o B ( x ) . Vamos comparar então:

y ' + cos ⁡ x y = 5 cos ⁡ x

y ' + A x y = B ( x )

Assim temos que:

A x = cos ⁡ x B x = 5 cos ⁡ x

Passo 3

Agora que a gente já sabe quem são os coeficientes A e B vamos partir para nosso próximo passo da receitinha de bolo, calcular ∫ A x d x lembrando que não precisamos colocar a constante de integração aqui 😊

∫ A x d x = ∫ cos ⁡ ( x ) d x

Fazendo a integral de c o s ⁡ ( x ) , ficamos com

∫ A x d x = s e n ( x )

Passo 4

Então, usamos esse resultado para calcular nosso fator integrante I ( x )

I x = e ∫ A x d x = e sen ⁡ x

Passo 5

Agora que temos o fator integrante, vamos fazer essa integral aqui:

∫ I x B x d x

Substituindo, teremos:

∫ e sen ⁡ x 5 . cos ⁡ x d x

Aí você pensa,” Eita! Como vou resolver essa integral maluca aqui”. Calma, querido aluno. Podemos resolver essa integral com uma técnica de integração chamada substituição simples! Vamos chamar s e n ( x ) de u e ficamos com isso aqui:

u = sen ⁡ ( x ) → d u = cos ⁡ ( x ) d x

d x = d u cos ⁡ x

Com isso nossa integral se torna:

∫ I x B x d x = ∫ e u 5 . cos ⁡ x d u cos ⁡ x

Podemos cortar os c o s ⁡ ( x ) e colocar a constante que está multiplicando (o número 5) para fora da integral

∫ I x B x d x = 5 ∫ e u d u

E a integral de e u é o próprio e u , então ficamos com

∫ I x B x d x = 5 e u

Só que u = s e n ( x ) . Então voltamos para a variável x substituindo o u , e ficamos com:

∫ I x B x d x = 5 e sen ⁡ x

Passo 6

E finalmente vamos pegar os resultados que achamos e colocar na fórmula da solução de EDO linear, lembrando que

I x = e s e n x   e   ∫ I x B x d x = 5 e sen ⁡ x

E a formula da solução de EDO Linear é

y x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + C

Substituindo tudo, teremos:

y x = 1 e sen ⁡ x 5 e sen ⁡ x + c

Fazendo a distributiva ficamos com

y x = 5 e sen ⁡ x e s e n x + c e s e n x

Na primeira fração podemos cortar e s e n x em cima e embaixo e na segunda fração podemos passar o e s e n x para cima mudando o sinal do expoente .

Temos que:

c e s e n x = c e - s e n x

Arrumando nossa resposta, teremos:

y x = 5 + c e - sen ⁡ x

Resposta

y x = 5 + c e - sen ⁡ x