Exercícios Resolvidos de EDOs Lineares

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Enunciado

Um fator integrante da equação diferencial x 2 y ' = 2 + x y       x > 0 ,   é:

(a) x

(b) 1 x

(c) e 2 x

(d) e - x 2

(e) e x 2

Passo 1

Pra achar o fator integrante, primeiro temos que botar a equação na forma da EDO linear que é essa aqui:

y ' x + A x ⋅ y x = B ( x )

A EDO é

x 2 y ' = 2 + x y

O coeficiente multiplicando y ' tem que ser 1 então vamos dividir os 2 lados por x 2 :

y ' = 2 + x y x 2

Podemos também abrir essa fração em duas repetindo o denominador:

⇒ y ' = 2 x 2 + y x

Agora passamos o termo que tem o y para o lado direito da equação, ficando com:

⇒ y ' - 1 x y = 2 x 2

A primeira coisa que fazemos quando percebemos que temos uma EDO linear de primeira ordem é identificar quem é o A ( x ) e o B ( x ) . Vamos comparar então:

y ' + A x y = B ( x )

⇒ y ' - 1 x y = 2 x 2

Assim, vemos que:

A x = - 1 x     e     B x = 2 x 2

Passo 2

Agora que a gente já sabe quem são os coeficientes A e B vamos partir para nosso próximo passo da receitinha de bolo, calcular ∫ A x d x lembrando que não precisamos colocar a constante de integração aqui 😊

∫ A x d x = - ∫ 1 x d x

Pra integral de 1 x temos ele tabeladinho como sendo ln ⁡ x .

- ∫ 1 x d x = - ln ⁡ x

Vamos agora lembrar de uma propriedade do ln ⁡ . Podemos passar a constante que está multiplicando o ln ⁡ para o expoente de quem está dentro dele. Assim:

a ln ⁡ b = ln ⁡ b a

No nosso caso, a = - 1 ,   e b = x . Então:

- ln ⁡ x = ln ⁡ x - 1

Lembra que x - 1 = 1 x . Com isso, nosso resultado será:

= ln ⁡ 1 x

Passo 3

O que o enunciado pediu foi o fator integrante. Que será dado por:

e ∫ A x d x

Como nosso A x = ln ⁡ 1 x , o fator integrante se torna:

e ln ⁡ 1 x

Como exponencial e ln ⁡ são funções inversas, elas vão se cortar e vamos ficar com

e ln ⁡ 1 x = 1 x

E esse é finalmente o nosso fator integrante.

Resposta

Alternativa (b) 1 x