Exercícios Resolvidos de EDOs Não-Homogêneas (Exponencias e Trigonométricas)

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Enunciado

Determine a solução geral:

y ' ' + y ' + y = x 2 + 2 x - 1 + e x

Passo 1

Opa! Bora ver mais essa?

A solução geral é dada pela soma entre a solução homogênea e a solução particular:

y x = y h + y p

Bem, como de costume, vamos resolver a equação característica primeiro para determinar a homogênea:

y ' ' + y ' + y = 0

r 2 + r + 1 = 0

Passo 2

Vamos usar a fórmula de Bháskara aqui:

x = - b ± Δ 2 a       e     Δ = b 2 - 4 a c

Onde na nossa r 2 + r + 1 = 0 , temos a = 1 ,   b = 1   e   c = 1 :

∆ = 1 2 - 4.1 . 1

∆ = = - 3

Assim:

r 1 = - 1 + - 3 2 = - 1 2 + i 3 2

r 2 = - 1 - - 3 2 = - 1 2 - i 3 2

Temos então raízes complexas, e a solução vai ser da forma:

y x = C 1 e a x cos ⁡ b x + C 2 e a x sen ⁡ b x

Onde a raiz complexa é: r = a + i b .

Assim, a solução da homogênea então é dada por:

y h = e - 1 2 x c 1 cos ⁡ 3 2 x + c 2 sen ⁡ 3 2 x  

Passo 3

Beleza, agora temos que analisar a solução da particular, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, ok?!

y ' ' + y ' + y = x 2 + 2 x - 1 + e x ⏟

Perceba que aqui temos uma função exponencial somada a uma função polinomial, vamos supor uma soluçãochutar polinomial do mesmo grau acrescida de umaa exponencial:

y P 1 x = A x 2 + B x + C

y p 2 x = D e x

y p = A x 2 + B x + C + D e x

Beleza, esse é o nosso chute para a solução particular, sendo que A ,   B , C , D são coeficientes constantes que a gente vai achar.

Comparando a solução homogênea com a particular não vemos nenhum termo que se repete, então podemos ficar com esse palpite para a solução particular e seguir no passo a passo.

Passo 4

Agora derivando a solução particular:

y p ' = 2 A x + B + D e x

y p ' ' = 2 A + D e x

Substituindo isso na EDO:

y ' ' + y ' + y = x 2 + 2 x - 1 + e x

2 A + D e x + 2 A x + B + D e x + A x 2 + B x + C + D e x = x 2 + 2 x - 1 + e x

Juntando os coeficientes dos termos de mesmo grau:

A x 2 + 2 A + B x + 2 A + B + C + 3 D e x = x 2 + 2 x - 1 + e x

Passo 5

Agora vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado:

A = 1

2 A + B = 2 →

    B = 2 - 2 A

B = 2 - 2 1

B = 0

2 A + B + C = - 1

C = - 1 - 2 - 0

C = - 3

3 D = 1

→ D = 1 3

Substituindo isso na solução particular que encontramos:

y p = A x 2 + B x + C + D e x

y p = x 2 - 3 + 1 3 e x

Passo 6

E como a solução geral é dada por:

y = y h + y p

Temos:

y = e - 1 2 x c 1 cos ⁡ 3 2 x + c 2 sen ⁡ 3 2 x + x 2 - 3 + 1 3 e x

E pronto! Encerramos mais essa😊

Resposta

y = e - 1 2 x c 1 cos ⁡ 3 2 x + c 2 sen ⁡ 3 2 x + x 2 - 3 + 1 3 e x