Exercícios Resolvidos de EDOs Não-Homogêneas (Exponencias e Trigonométricas)

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Enunciado

Resolva a EDO

y ' ' + y = x - 1 cos ⁡ x

Passo 1

E aí, pronto pra ver mais essa EDO?

Esta é uma EDO de segunda ordem não homogênea, certo?

Sendo assim, a solução geral é dada por:

y = y h + y p

A solução homogênea, nossa y h é dada por!

y ' ' + y = 0

Vamos pro polinômio característico, resolver a parte homogênea primeiro!

Passo 2

O polinômio característico é:

r 2 + 1 = 0

r 2 = - 1

r = ± - 1

r = ± i

Como temos raízes complexas, nossa solução homogênea é da forma:

y h = C 1 e a x cos ⁡ b x + C 2 e a x sen ⁡ b x

Sendo a raiz r = a + i b .

Assim a solução da homogênea ficará:

y h = C 1 e 0 cos ⁡ 1 x + C 2 e 0 sen ⁡ 1 x

y h = C 1 cos ⁡ ( x ) + C 2 sen ⁡ ( x )

Passo 3

Agora temos que resolver a não homogênea, e pra isso vamos usar o método dos coeficientes a determinar!

Nossa EDO é: y ' ' + y = x - 1 cos ⁡ x

Do lado direito temos uma parte polinomial e outra parte trigonométrica.

Analisando a parte polinomial, vemos que um bom chute seria: y p 1 = A x + B

E da parte trigonométrica, um bom chute seria: y p 2 = C cos ⁡ ( x ) + D sen ⁡ ( x )

Como temos um produto entre essas partes, nossa solução é um produto também!

Assim a solução particular é dada por:

y p = ( A x + B ) ( C cos ⁡ x + D sen ⁡ x )

Passo 4

Mas cuidado! Abre essa multiplicação rapidão. Você vai ver que quando você multiplica o B por C cos ⁡ ( x ) , vai ficar uma constante vezes cos ⁡ ( x ) , ou seja, ficou com a mesma cara que a solução homogênea.

A mesma coisa acontece pro sen ⁡ ( x ) , por causa disso, precisamos multiplicar tudo por x , pra ficar diferente!

y p = ( A x 2 + B x ) ( C cos ⁡ x + D sen ⁡ x )

Agora sim! Vamos achar o valor dessas constantes, para isso vamos multiplicar usando a distributiva ali:

y p = A x 2 cos ⁡ ( x ) + B x 2 sen ⁡ ( x ) + C x cos ⁡ ( x ) + D x sen ⁡ ( x )

Percebe que eu juntei as constantes: por exemplo, chamei A C de A de novo, isso não muda nada, porque vamos determinar essas constantes agora, e essas são constantes arbitrárias.

Passo 5

Vamos derivar agora, pra isso precisaremos usar a regra do Produto, tá bem? Ela é assim, só pra relembrar:

f ⋅ g ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g '

Então, por exemplo:

  A C x 2 cos ⁡ x ' = A C x 2 sen ⁡ x + 2 A C x cos ⁡ x

Vamos fazer isso em todos os termos!

y p ' = - A x 2 sen ⁡ x + 2 A x cos ⁡ x + B x 2 cos ⁡ x + 2 B x sen ⁡ x - C x sen ⁡ x + C cos ⁡ x + D x cos ⁡ x + D sen ⁡ ( x )

Passo 6

A gente precisa derivar de novo agora! Do mesmo jeito, sem esquecer a regra do produto!

y p ' ' = - A x 2 cos ⁡ x - 2 A x sen ⁡ x - 2 A x sen ⁡ x + 2 A cos ⁡ x - B x 2 sen ⁡ x + 2 B x cos ⁡ x + 2 B x cos ⁡ x + 2 B sen ⁡ x - C x cos ⁡ x - C sen ⁡ x - C sen ⁡ x - D x sen ⁡ x + D cos ⁡ x + D cos ⁡ ( x )

Fica essa lindeza aqui! Faz com bastante calma que tudo dará certo rsrs.

Passo 7

Substituindo y p ' '   e   y p   na EDO, no lugar de y ' ' e y :

- 2 A x sen ⁡ x - 2 A x sen ⁡ x + 2 A cos ⁡ x + 2 B x cos ⁡ x + 2 B x cos ⁡ x + 2 B sen ⁡ x - C sen ⁡ x - C sen ⁡ x + D cos ⁡ x + D cos ⁡ ( x ) = x - 1 cos ⁡ x

Agrupando os termos semelhantes:

- 4 A x sen ⁡ x + 2 B - 2 C sen ⁡ x + 2 A + 2 D cos ⁡ x + 4 B x cos ⁡ x = x cos ⁡ x - cos ⁡ ( x )

Passo 8

Agora a gente vai igualar os termos correspondentes de cada lado:

- 4 A = 0 → A = 0 2 B - 2 C = 0 →   B = C 2 A + 2 D = - 1 4 B = 1

Vamos lá, da quarta equação nós temos que:

B = 1 4

Da segunda, nós temos que: B = C , então:

C = 1 4

Da terceira:

D = - 1 2

E já vimos na primeira que A = 0 .

Passo 9

Uffa!! Ficou assim:

y p = A x 2 cos ⁡ ( x ) + B x 2 sen ⁡ ( x ) + C x cos ⁡ ( x ) + D x sen ⁡ ( x )

y p = 1 4 x 2 sen ⁡ ( x ) + 1 4 x cos ⁡ ( x ) - 1 2 x sen ⁡ ( x )

Então essa é a nossa solução particular!

Passo 10

Então a solução geral é:

y = y h + y p

y = C 1 cos ⁡ ( x ) + C 2 sen ⁡ ( x ) + 1 4 x 2 sen ⁡ ( x ) + 1 4 x cos ⁡ ( x ) - 1 2 x sen ⁡ ( x )

Ufaaa! Até que enfim conseguimos hein!

Resposta

y = C 1 cos ⁡ ( x ) + C 2 sen ⁡ ( x ) + 1 4 x 2 sen ⁡ ( x ) + 1 4 x cos ⁡ ( x ) - 1 2 x sen ⁡ ( x )