Exercícios Resolvidos de EDOs Não-Homogêneas (Exponencias e Trigonométricas)

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Enunciado

Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não é necessário determinar os coeficientes.

y ' ' + 4 y = e 3 x + x s e n ( 2 x )

Passo 1

E aí, tudo joia?

Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a soma da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Com isso, a equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' + 4 y = 0

E a equação característica associada é:

r 2 + 4 = 0

r 2 = - 4

r = ± - 4

r = ± 2 i

As raízes são complexas do tipo r = α ± β i , e a solução é para esse caso é do tipo:

y x = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 s e n β x

Beleza? Aqui temos α = 0 e β = 2 . Vamos substituir os valores encontrados?

y h x = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n 2 x

Show! Essa é a solução homogênea! Agora vamos encontrar a solução particular.

Passo 3

Nesse caso temos duas soluções particulares, pois do lado direito da EDO há dois termos, o e 3 x e o x s e n ( 2 x ) .

y ' ' + 4 y = e 3 x + x s e n ( 2 x )

Vamos começar com a primeira.

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados.

A função G 1 x é G 1 x = e 3 x , uma exponencial, e não faz parte da solução da equação homogênea, então uma possível solução vai ser:

y p 1 x = A e 3 x

Passo 4

A segunda solução particular vai ser dada a partir da função G 2 x é G 2 x = x s e n ( 2 x ) . então nossa tentativa seria da forma:

y p 2 = B x + C [ D sen ⁡ 2 x + E cos ⁡ 2 x ]

Mas essa solução faz parte da solução da equação homogênea, sendo assim devemos multiplicar por x . Assim uma possível solução tentativa será:

y p 2 x = x B x + C [ D sen ⁡ 2 x + E cos ⁡ 2 x ]

Perceba que a possível solução é a multiplicação entre um polinômio e a parte trigonométrica, visto que buscamos a solução para x sen ⁡ ( 2 x ) .

Passo 5

E a solução tentativa vai ser a soma das duas:

y p = y p 1 + y p 2

y p = A e 3 x + x B x + C [ D sen ⁡ 2 x + E cos ⁡ 2 x ]

Veja que o problema não pediu pra resolver, só para escrever a solução tentativa, que é essa aí😊

Então essa é nossa resposta.

Resposta

y p = A e 3 x + x B x + C [ D sen ⁡ 2 x + E cos ⁡ 2 x ]