Exercícios Resolvidos de EDOs Não-Homogêneas (Exponencias e Trigonométricas)

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Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:

y ' ' - 9 y = 5 e 2 x + cos ⁡ 2 x + 9 x 2 + 2 x

Passo 1

E aí, como vai?

Olha só, a solução geral vai ser da forma:

y = y h + y p

Onde y h é a solução homogênea e y p é a solução particular.

Vamos começar encontrando a solução homogênea:

y ' ' - 9 y = 0

Vamos ver a equação característica:

r 2 - 9 = 0

r = ± 3

Como as raízes são reais, a solução homogênea será:

y h x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x

Passo 2

Agora vamos encontrar a solução particular y p ( x ) pelo método dos coeficientes a determinar:

Agora f ( x ) é uma soma de diferentes funções:

  • Função exponencial: 5 e 2 x
  • Função trigonométrica: cos ⁡ 2 x
  • Função polinomial: 9 x 2 + 2 x

Então y p ( x ) será também uma soma desses tipos de funções:

y p x = A e 2 x ⏟ Exponencial + B sen ⁡ 2 x + C cos ⁡ 2 x ⏟ Trigonométrica   + D x 2 + E x + F ⏟ Polinomial

Passo 3

Antes de qualquer coisa a gente precisa verificar se a solução particular y p ( x ) não é solução geral da equação homogênea:

Nessa EDO, essa solução não satisfaz a equação homogênea! Embora na homogênea tenha uma exponencial, são exponenciais diferentes. Uma é elevada a 2 x e a outra a ± 3 x .

Então não precisamos modificar, pode seguir naquele formato ali mesmo!

Passo 4

Agora vamos encontrar derivadas de y p ( x ) , lembra da regra do Produto e regra da Cadeia:

f ⋅ g ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g '

f g ' = f ' g ⋅ g '

Por exemplo:

A e 2 x ' = A e 2 x ⋅ 2 x ' = 2 A e 2 x

B sen ⁡ 2 x ' = B cos ⁡ 2 x ⋅ 2 = 2 B cos ⁡ 2 x

D x 2 ' = 2 D x

E x ' = E

F ' = 0

Fazendo o mesmo para a segunda derivada, temos:

y p x = A e 2 x + B sen ⁡ 2 x + C cos ⁡ 2 x + D x 2 + E x + F y p ' x = 2 A e 2 x + 2 B cos ⁡ 2 x - 2 C sen ⁡ 2 x + 2 D x + E y p ' ' x = 4 A e 2 x - 4 B sen ⁡ 2 x - 4 C cos ⁡ 2 x + 2 D

Passo 5

Substituindo na equação e encontrando as constantes:

Poderíamos substituir diretamente as derivadas e comparar os dois lados para encontrar as constantes:

y ' ' - 9 y = 5 e 2 x + cos ⁡ 2 x + 9 x 2 + 2 x

4 A e 2 x - 4 B sen ⁡ 2 x - 4 C cos ⁡ 2 x + 2 D - 9 A e 2 x + B sen ⁡ 2 x + C cos ⁡ 2 x + D x 2 + E x + F = 5 e 2 x + cos ⁡ 2 x + 9 x 2 + 2 x

Mas acho que fica mais claro e organizado se separarmos por cada tipo de função:

  1. Exponencial
  2. y ' ' - 9 y = 5 e 2 x

    E agora substituindo apenas a parte exponencial:

    4 A e 2 x - 9 A e 2 x = 5 e 2 x

    - 5 A e 2 x = 5 e 2 x

    - 5 A = 5

    → A = - 1

    Passo 6

  3. Trigonométrica
  4. y ' ' - 9 y = cos ⁡ 2 x

    E agora substituindo apenas a parte trigonométrica:

    - 4 B sen ⁡ 2 x - 4 C cos ⁡ 2 x - 9 B sen ⁡ 2 x + C cos ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x

    - 4 B - 9 B sen ⁡ 2 x + - 4 C - 9 C cos ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x

    - 13 B sen ⁡ 2 x - 13 C cos ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x

    → - 13 B = 0 - 13 C = 1

    Resolvendo o sistema:

    B = 0 ; C = - 1 13 .  

    Passo 7

  5. Polinomial

y ' ' - 9 y = 9 x 2 + 2 x

E agora substituindo apenas a parte polinomial:

2 D - 9 D x 2 + E x + F = 9 x 2 + 2 x

- 9 D x 2 + - 9 E x + 2 D - 9 F = 9 x 2 + 2 x

→ - 9 D = 9 - 9 E = 2 2 D - 9 F = 0

Resolvendo o sistema:

D = - 1 ; E = - 2 9 ; F = - 2 9 .

Passo 6

Ótimo! Encontramos todas as constantes:

A = - 1 ; B = 0 ; C = - 1 13 ; D = - 1 ; E = - 2 9 ; F = - 2 9 .

Vamos jogar isso lá na y p agora!

Passo 7

Substituindo constantes encontradas em y p :

y p x = A e 2 x ⏟ Exponencial + B sen ⁡ 2 x + C cos ⁡ 2 x ⏟ Trigonométrica   + D x 2 + E x + F ⏟ Polinomial

Substituindo as constantes:

y p x = - 1 e 2 x + 0 sen ⁡ 2 x + - 1 13 cos ⁡ 2 x + - 1 x 2 + - 2 9 x + - 2 9

→ y p x = - e 2 x - 1 13 cos ⁡ 2 x - x 2 - 2 9 x - 2 9

Passo 8

Como sabemos que a solução geral é dada por:

y x = y h x + y p ( x )

Substituindo o que achamos, temos:

y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x + - e 2 x - 1 13 cos ⁡ 2 x - x 2 - 2 9 x - 2 9

y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x - e 2 x - 1 13 cos ⁡ 2 x - x 2 - 2 9 x - 2 9

Prontinho!

Resposta

y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x - e 2 x - 1 13 cos ⁡ 2 x - x 2 - 2 9 x - 2 9