Exercícios Resolvidos de EDOs Não-Homogêneas (Exponencias e Trigonométricas)

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Enunciado

Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes.

y ' ' + 9 y ' = 1 + x e 9 x

Passo 1

Olá, tudo bem?

Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. Quando isso acontece, a solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Vamos começar encontrando a solução da equação homogênea. Com isso, a equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' + 9 y ' = 0

E a equação característica associada é:

r 2 + 9 r = 0

Colocando r em evidência.

r r + 9 = 0

As raízes serão:

r 1 = 0 ,         r 2 = - 9

Temos duas raízes reais e diferentes, com isso a solução fica:

y x = C 1 e - 9 x + C 2 e 0

y x = C 1 e - 9 x + C 2

Agora vamos encontrar a solução particular.

Passo 3

Olhando para a nossa EDO

y ' ' + 9 y ' = 1 + x e 9 x

Vemos que do lado direito há dois termos. Nesse caso temos duas soluções particulares.

Vamos começar com a primeira.

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados.

A função G 1 x é G 1 x = 1 , uma constante, e faz parte da solução da equação homogênea, então vamos multiplicá-la por x , até que ela se torne diferente do que temos na solução homogênea. Com isso, uma possível solução vai ser uma constante vezes x :

y p 1 x = A x

Passo 4

A segunda solução particular vai ser dada a partir da função G 2 x é G 2 x = x e 9 x e não faz parte da solução da equação homogênea, sendo assim uma possível solução vai ser uma função de primeiro grau multiplicando uma exponencial:

y p 2 x = B x + C e 9 x

Passo 5

E a solução tentativa vai ser a soma das duas:

y p = y p 1 + y p 2

y p = A x + B x + C e 9 x

Por enquanto é isso pessoal, essa é a solução tentativa😊

Vamos pra próxima?

Resposta

y p = A x + B x + C e 9 x