Exercícios Resolvidos de EDOs Não-Homogêneas (Exponencias e Trigonométricas)

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Enunciado

Determine a solução geral da equação diferencial:

y ' ' - 4 y ' + 3 y = 3 e x

Com as seguintes condições iniciais

y 0 = 1 e y ' 0 = 0 .

Passo 1

Aqui temos uma EDO de segunda ordem não homogênea para ser resolvida. Sendo assim, nossa solução deve ser a forma:

y x = y h x + y p x

Onde y h é a solução homogênea, e y p é a solução particular.

Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa à equação homogênea. Como temos: y ' ' - 4 y ' + 3 y = 3 e x

Vamos encontrar:

r 2 - 4 r + 3 = 0

Passo 2

Para encontrar as raízes de r 2 - 4 r + 3 = 0

Vamos aplicar a fórmula de Bháskara:

x = - b ± √ ( b 2 - 4 a c ) 2 a

E sendo que no nosso caso temos: a = 1 ,   b = - 4   e   c = 3 , vamos ter:

r = - - 4 ± - 4 2 - 4.1 . 3 2

r = 4 ± 16 - 12 2

r = 4 ± 4 2

r = 4 ± 2 2

r 1 = 1 ,     e         r 2 = 3

Beleza, encontramos esses valores para r ! Assim, como temos suas raízes reais, nossa solução homogênea é da forma:

y x = C 1 e r 1 . x + C 2 e r 2 . x

y h x = C 1 e 1 . x + C 2 e 3 . x

Passo 3

Vamos ver a solução particular agora! Nossa EDO é:

y ' ' - 4 y ' + 3 y = 3 e x

Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito), é uma exponencial com d = 1 . Então, vamos considerar que nossa solução tem essa forma aqui:

y p x = A e x

Passo 4

Agora temos que comparar y h ( x ) e y p ( x ) . Veja que y p ( x ) está na solução homogênea. Ele é exatamente esse termo: C 2 e x (porque A   e   C 2 são constantes).

Então o que fazemos? Multiplicamos a particular por x até que ela fique diferente

y p x = A x e x

Beleza, ficou diferente. Agora podemos seguir no passo a passo.

Vamos achar as derivadas, aqui a gente vai ter que usar a regra do produto:

f ⋅ g ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g '

Sendo que aqui: f = A x → f ' = A e g = e x → g ' = e x :

y p ' x = A e x + A x e x

Derivando de novo:

y p ' ' x = A e x + A e x + A x e x

= 2 A e x + A x e x

Passo 5

Agora vamos substituir a solução particular e suas derivadas na EDO. Teremos, então:

y ' ' - 4 y ' + 3 y = 3 e x

2 A e x + A x e x - 4 A e x + A x e x + 3 A x e x = 3 e x

2 A e x + A x e x - 4 A e x - 4 A x e x + 3 A x e x = 3 e x

Como do lado de lá só temos e x , pegamos o termo que tem só e x do lado de cá e igualamos:

- 2 A e x = 3 e x

Devemos ter

A = - 3 2

Agora que descobrimos que é a constante A , nós substituímos isso na solução particular. Assim a solução particular será:

y p = - 3 2 x e x

Passo 6

E como a solução geral é: y x = y h x + y p x

Teremos:

y x = C 1 e x + C 2 e 3 x - 3 2 x e x

Passo 7

Agora é substituir as condições iniciais nas equações que temos para resolver o PVI e encontrar o valor das constantes C 1 e C 2 .

Colocando 0 em y x , temos:

y 0 = C 1 e 0 + C 2 e 3.0 - 3 2 0 e 0 = 1

Como e 0 = 1 :

C 1 + C 2 = 1

Passo 8

Agora, vejamos o y ' 0 . Para isso, precisamos derivar y x , o que nos dá:

y ' x = C 1 e x + 3 C 2 e 3 x - 3 2 e x - 3 2 x e x

Colocando x = 0 , teremos:

y ' 0 = C 1 e 0 + 3 C 2 e 3.0 - 3 2 e 0 - 3 2 . 0 e 0

C 1 + 3 C 2 - 3 2 = 0

Passo 9

Agora, juntamos as duas equações e resolvemos o sistema:

C 1 + C 2 = 1 C 1 + 3 C 2 = 3 2

Fazendo a de baixo menos a de cima, temos:

2 C 2 = 1 2

C 2 = 1 4

Substituindo esse valor para C 2 na primeira equação, temos:

C 1 + 1 4 = 1

C 1 = 1 - 1 4

C 1 = 4 4 - 1 4

C 1 = 3 4

Colocando esses dois valores na equação de y x , teremos:

y x = 3 4 e x + 1 4 e 3 x - 3 2 x e x

Resposta

y x = 3 4 e x + 1 4 e 3 x - 3 2 x e x