Exercícios Resolvidos de EDOs Não-Homogêneas (Exponencias e Trigonométricas)

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Enunciado

Resolva a EDO de segunda ordem:

y ' ' - 4 y ' + 5 y = e x cos ⁡ 2 x

Passo 1

Oiii! Vamos continuar com nossas EDOs!

A equação é não homogênea, então a solução geral é

y = y h + y p

onde y h é a solução homogênea e y p é a solução particular.

Vamos começar achando a solução homogênea y h ! A equação homogênea é a mesma, mas com 0 do lado direito:

y ' ' - 4 y ' + 5 y = 0

A equação auxiliar é:

r 2 - 4 r + 5 = 0

Resolvendo

⇒   r = - b ± i Δ 2 a = 4 ± 2 i 2 = 2 ± i

Temos

α = 2     e     β = 1

Então a solução homogênea da equação é:

e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 sen ⁡ β x  

⇒ y h x = e 2 x c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x  

Passo 2

Show, achamos a homogênea, agora vamos achar a solução particular! Lembrando que a equação é:

y ' ' - 4 y ' + 5 y = e x cos ⁡ 2 x

Temos que determinar qual vai ser o nosso “chute” pra y p . Vamos começar identificando a função do lado direito da equação.

Temos uma função exponencial multiplicando uma trigonométrica, então nossa solução particular também vai ser algo do tipo!

y p ( x ) = e x A cos ⁡ 2 x + B sen ⁡ 2 x

Passo 3

Como a função e x cos ⁡ ( 2 x ) não é solução da equação homogênea, podemos tentar aquela solução do passo anterior mesmo.

Toma cuidado para não confundir, na solução homogênea temos e 2 x , na particular temos e x !

Passo 4

Show! Vamos achar a primeira derivada da função, usando as regra do produto e regra da cadeia:

y p ' x = e x A cos ⁡ 2 x + B sen ⁡ 2 x + e x A - sen ⁡ 2 x . 2 + B cos ⁡ 2 x . 2

Dando uma ajeitadinha nisso, temos:

y p ' x = e x A cos ⁡ 2 x + B sen ⁡ 2 x - 2 A sen ⁡ 2 x + 2 B cos ⁡ 2 x

Juntando os termos que acompanham cos ⁡ 2 x   e s e n ( 2 x ) , temos:

⇒   y p ' x = e x A + 2 B cos ⁡ 2 x + B - 2 A sen ⁡ 2 x

Passo 5

Agora é arregaçar as mangas e calcular essa derivada segunda, pelos métodos de derivação!

y p ' ' x = e x A + 2 B cos ⁡ 2 x + B - 2 A sen ⁡ 2 x + e x A + 2 B - sen ⁡ 2 x . 2 + B - 2 A cos ⁡ 2 x . 2  

Ajeitando isso daí, ficamos com

y p ' ' x = e x A + 2 B cos ⁡ 2 x + B - 2 A sen ⁡ 2 x - 2 A + 2 B sen ⁡ 2 x + 2 B - 2 A cos ⁡ 2 x

Podemos deixar menos feio, fazendo as distributivas

y p ' ' x = e x A + 2 B cos ⁡ 2 x + B - 2 A sen ⁡ 2 x - 2 A + 4 B sen ⁡ 2 x + 2 B - 4 A cos ⁡ 2 x

Juntando os termos que acompanham cos ⁡ 2 x   e s e n ( 2 x ) , temos:

y p ' ' x = e x A + 2 B + 2 B - 4 A cos ⁡ 2 x + B - 2 A - 2 A - 4 B sen ⁡ 2 x

Finalmente, ficamos com:

⇒   y p ' ' x = e x 4 B - 3 A cos ⁡ 2 x - 4 A + 3 B sen ⁡ 2 x

Ufa! Demorou, mas foi!

Passo 6

Agora vamos substituir y p , y p ' e y p ' ' na EDO:

y p ' ' - 4 y p ' + 5 y p = e x cos ⁡ 2 x

O que dá esse troço bizarro aí:

e x 4 B - 3 A cos ⁡ 2 x - 4 A + 3 B sen ⁡ 2 x - 4 e x A + 2 B cos ⁡ 2 x + B - 2 A sen ⁡ 2 x + 5 e x A cos ⁡ 2 x + B sen ⁡ 2 x = e x cos ⁡ 2 x

A primeira coisa que podemos fazer é cortar e x dos 2 lados:

4 B - 3 A cos ⁡ 2 x - 4 A + 3 B sen ⁡ 2 x - 4 A + 2 B cos ⁡ 2 x + B - 2 A sen ⁡ 2 x + 5 A cos ⁡ 2 x + B sen ⁡ 2 x = cos ⁡ ( 2 x )

Melhorou um pouco né? Agora vamos juntar todos os senos e cossenos:

4 B - 3 A - 4 A + 2 B + 5 A cos ⁡ ( 2 x ) + - 4 A - 3 B - 4 B - 2 A + 5 B sen ⁡ ( 2 x ) = c o s ⁡ ( 2 x )

⇒ 4 B - 3 A - 4 A - 8 B + 5 A cos ⁡ 2 x + - 4 A - 3 B - 4 B + 8 A + 5 B sen ⁡ ( 2 x ) = c o s ⁡ ( 2 x )

⇒ - 2 A - 4 B cos ⁡ 2 x + 4 A - 2 B sen ⁡ 2 x = c o s ⁡ ( 2 x )

Eeee laiá, coisa feia que dói!

Passo 7

Repare que do lado direito temos

cos ⁡ 2 x = 1 . cos ⁡ 2 x + 0 . sen ⁡ ( 2 x )

Ou seja, quando igualarmos os termos que acompanham seno e o cosseno, vamos cair num sistema:

- 2 A - 4 B = 1 4 A - 2 B = 0

Podemos multiplicar a primeira equação por 2 e somá-la com a segunda:

2 - 2 A - 4 B + 4 A - 2 B = 2.1 + 0

- 4 A - 8 B + 4 A - 2 B = 2

- 10 B = 2

⇒   B = - 2 10

B = - 1 5

E pela segunda equação, temos

4 A = 2 B

⇒ 2 A = B = - 2 10

⇒ A = - 1 10

Passo 8

Então, solução particular é:

y p ( x ) = e x A cos ⁡ 2 x + B sen ⁡ 2 x

⇒ y p x = e x - 1 10 cos ⁡ 2 x - 2 10 sen ⁡ 2 x

⇒ y p x = - 1 10 e x cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ 2 x

Lembrando que achamos a solução homogênea

y h x = e 2 x c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x

Logo, a solução geral da equação vai ser

y = y h + y p

⇒ y x = e 2 x c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x - 1 10 e x cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ 2 x

Resposta

y x = e 2 x c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x - 1 10 e x cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ 2 x