Exercícios Resolvidos de EDOs Não-Homogêneas (Exponencias e Trigonométricas)

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Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:

y ' ' - 9 y = cos ⁡ 3 x

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Vamos seguir um passo a passo aqui que vai ajudar bastante na resolução da nossa questão. Nosso objetivo é encontrar a solução desta EDO, e esta solução será do tipo:

y x = y h x + y p x

Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa à equação homogênea. Como a nossa equação é: y ' ' - 9 y = cos ⁡ 3 x

Pra achar a solução homogênea, temos que fazer:

r 2 - 9 = 0

Passo 2

Vamos resolver essa equação fatorando essa diferença de quadrados:

r 2 - 3 2 = 0

r + 3 r - 3 = 0

Como temos uma multiplicação igual a zero, vamos ter duas raízes

r 1 = - 3 ,     r 2 = 3

Como essas duas raízes são reais, a solução homogênea é da forma:

y x = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x

A solução homogênea nesse caso então é:

y h x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x

Passo 3

Vamos partir agora para a solução particular y p x , ok? Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito). O que temos lá? Uma expressão trigonométrica, então nós desconfiamos que a solução vai ser dessa forma aqui:

y p x = A c o s 3 x + B s e n ( 3 x )

Encontrando a primeira e a segunda derivada dessa solução particular, temos:

y p ' x =   - A sen ⁡ 3 x ⋅ 3 + B c o s   3 x ⋅ 3           ( r e g r a   d a   c a d e i a )

y p ' ' = - A c o s   3 x ⋅ 3 ⋅ 3 + B cos ⁡ 3 x ⋅ 3 ⋅ 3

y p ' x = - 3 A s e n 3 x + 3 B c o s ( 3 x ) y p ' ' ( x ) = - 9 A c o s 3 x - 9 B s e n ( 3 x )

Passo 4

Agora temos que comparar a solução particular com a solução homogênea. Bem, a homogênea envolve exponenciais, e a particular trigonométricas. Portanto, não tem nada da particular na homogênea e podemos ficar com o seguinte palpite:

y p x = A cos ⁡ 3 x + B sen ⁡ 3 x

Passo 5

Agora temos que substituir essas derivadas na equação. Teremos, então:

y ' ' - 9 y = c o s ⁡ ( 3 x )

No lugar de y ' ' a gente vai colocar y p ' ' e no lugar de y a gente vai colocar y p :

- 9 A c o s 3 x - 9 B s e n 3 x - 9 ( A c o s 3 x + B s e n 3 x ) = c o s ⁡ ( 3 x )

- 9 A c o s   3 x - 9 B s e n   3 x - 9 A cos ⁡ 3 x - 9 B sen ⁡ 3 x = cos ⁡ 3 x

- 18 A c o s 3 x - 18 B s e n 3 x = c o s ⁡ ( 3 x )

Passo 6

Igualando o coeficiente que está multiplicando a função cosseno do lado esquerdo e do lado direito temos:

- 18 A cos ⁡ 3 x = cos ⁡ ( 3 x )

- 18 A = 1

A = - 1 18

Como não há a função seno do lado direito da equação:

- 18 B s e n 3 x = 0

B = 0

Então substituindo o valor das constantes A   e   B em nossa solução particular, teremos:

y p x = A c o s 3 x + B s e n ( 3 x )

y p x = - 1 18 c o s 3 x

Passo 7

Assim, a solução geral é:

y x = y h x + y p x

Porém encontramos:

y h x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x

y p x = - 1 18 c o s 3 x

Então fica:

y x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x - 1 18 c o s 3 x

E prontinho! EDO resolvida😊

Resposta

y x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x - 1 18 c o s 3 x