Exercícios Resolvidos de EDOs Não-Homogêneas (Polinômios)

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Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial

y ' ' + y ' - 2 y = 2 t

y 0 = 0 ,         y ' 0 = 1

Passo 1

Opa! Vamos ver mais essa?

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

A solução geral é dada por:

y = y h +   y p

Onde y h é a solução homogênea, e y p é a solução particular.

Vamos começar pela homogênea, beleza?

Passo 2

A parte homogênea associada é essa aqui:

y ' ' + y ' - 2 y =   0

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, y ' ' passa a ser r 2 , y ' passa a ser r e y é o termo independente.

r 2 + r - 2 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o ∆   =   b 2 - 4 a c   e utilizaremos a fórmula de Bhaskara: r = - b ± ∆ 2 a

Sendo que a = 1 , b = 1   e c = - 2 .

∆   =   b 2 - 4 a c

∆   =   1 2 - 4 1 - 2

∆   =   9

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = - b ± ∆ 2 a

r = - 1 ± 9 2 ( 1 )

r = - 1 ± 3 2

r 1 = - 1 + 3 2 = 1

e

r 2 = - 1 - 3 2 = - 2

Passo 3

Como temos duas soluções reais, a solução da EDO homogênea será:

y =   C 1 e r 1 t +   C 2 e r 2 t

y h =   C 1 e t +   C 2 e - 2 t

Beleza, vamos continuar para a particular!

Passo 4

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y p = A + B t

Já que do outro lado temos 2 t , que é de 1º grau.

Derivando y p , temos:

y ' p = B

y ' ' p = 0

Vamos substituir isso na EDO agora!

Passo 5

Pegando a EDO lá do início:

y ' ' + y ' - 2 y = 2 t

y p ' ' + y p ' - 2 y p = 2 t

Substituindo:

0 + B - 2 ( A + B t ) =   2 t

B - 2 A - 2 B t =   2 t

Igualando os termos correspondentes:

B - 2 A = 0

- 2 B = 2

Logo,

B = - 1

A = -   1 2

Portanto, a solução particular da EDO será

y p = - 1 2 - t

Passo 6

A solução da EDO então será:

y = y h +   y p

y =   C 1 e t +   C 2 e - 2 t - 1 2 - t

Passo 7

Agora partiremos pra encontrar as constantes C 1 e C 2 . Pra isso vamos aplicar as condições iniciais:

y 0 = 0 ,         y ' 0 = 1

Utilizando a primeira:

y 0 =   C 1 +   C 2 - 1 2 = 0

C 1 + C 2 = 1 2

Derivando a solução geral, temos:

y ' =   C 1 e t   - 2 C 2 e - 2 t - 1

E então podemos aplicar a segunda condição:

y ' 0 =   C 1   - 2 C 2 - 1 = 1

C 1 - 2 C 2 = 2

Passo 8

Temos então o seguinte sistema de equações:

C 1 + C 2 = 1 2 C 1 - 2 C 2 = 2

Da primeira temos:

C 1 = 1 2 - C 2

Substituindo na segunda:

1 2 - - C 2 - 2 C 2 = 2

- 3 C 2 = 2 - 1 2

- 3 C 2 = 4 2 - 1 2

- 3 C 2 = 3 2

C 2 = - 3 2 ⋅ 1 3

C 2 = - 1 2

E daí, temos:

C 1 = 1 2 - - 1 2

C 1 = 1 2 + 1 2

C 1 = 1

Passo 9

Agora que achamos os valores das constantes, vamos substituir na solução geral que achamos:

y =   C 1 e t +   C 2 e - 2 t - 1 2 - t

y =   e t - 1 2 e - 2 t - 1 2 - t

E pronto! Essa é a solução do PVI pedido😉

Resposta

y =   e t - 1 2 e - 2 t - 1 2 - t