Exercícios Resolvidos de EDOs Não-Homogêneas (Polinômios)

Ver Teoria

Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial

y ' ' + y ' - 2 y = 2 t

y 0 = 0 ,         y ' 0 = 1

Passo 1

Opa! Vamos ver mais essa?

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

A solução geral é dada por:

y = y h +   y p

Onde y h   é a solução homogênea e y p é a solução particular.

Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea ( y h ). Lembrando que a EDO homogênea é y ' ' + y ' - 2 y =   0 .

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Essa aqui:

r 2 + r - 2 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o ∆   =   b 2 - 4 a c   e utilizaremos a fórmula de Bhaskara r = - b ± ∆ 2 a .

Sendo que a = 1 , b = 1   e c = - 2 .

Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.

∆   =   b 2 - 4 a c

∆   =   1 2 - 4 1 - 2

∆   =   9

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = - b ± ∆ 2 a

r = - 1 ± 9 2 ( 1 )

r = - 1 ± 3 2

r 1 = - 1 + 3 2 = 1

e

r 2 = - 1 - 3 2 = - 2

Passo 3

Como temos duas raízes reais, a solução da EDO homogênea será:

y h =   C 1 e r 1 t +   C 2 e r 2 t

y h =   C 1 e t +   C 2 e - 2 t

Beleza, vamos continuar...

Passo 4

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y p = A + B t

Já que temos um polinômio ali do outro lado.

Que satisfaz a equação

y ' ' p + y ' p - 2   y p =   2 t

Vamos calcular a primeira e segunda derivadas de y p então:

y ' p = B

y ' ' p = 0

Substituindo tudo isso na nossa EDO:

y ' ' p + y ' p - 2   y p =   2 t

0 + B - 2 ( A + B t ) =   2 t

B - 2 A - 2 B t =   2 t

Passo 5

Para manter a igualdade,

B - 2 A = 0

- 2 B = 2

Logo,

B = - 1

A = -   1 2

Portanto, a solução particular da EDO será

y p = - 1 2 - t

Passo 6

Com essas soluções em mãos, a solução da EDO será:

y = y h +   y p

y =   C 1 e t +   C 2 e - 2 t - 1 2 - t

Passo 7

Pra ficar show, só precisamos encontrar o valor das constantes C 1 e C 2 .

Aplicando a condição inicial agora:

y 0 = 0

y ( 0 ) =   C 1 e 0 +   C 2 e - 2 ⋅ 0 - 1 2 - 0

  C 1 +   C 2 - 1 2 = 0

E a outra condição:

y ' 0 = 1

Derivando a solução geral que encontramos:

y ' =   C 1 e t   - 2 C 2 e - 2 t - 1

y ' 0 =   C 1   - 2 C 2 - 1 = 1

C 1 - 2 C 2 = 2

Temos então o seguinte sistema de equações,

C 1 +   C 2 = 1 2

C 1   - 2 C 2 = 2

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações, da primeira temos:

C 1 = 1 2 - C 2

Substituindo na segunda:

1 2 - C 2 - 2 C 2 = 2

- 3 C 2 = 2 - 1 2

- 3 C 2 = 4 2 - 1 2

- 3 C 2 = 3 2

C 2 = - 3 6 = - 1 2

E daí temos:

C 1 = 1 2 + 1 2 = 1

Ou seja:

C 1 = 1  

C 2 = - 1 2

Agora que temos também as constante, valos colocar tudo na solução da nossa EDO.

y =   e t - 1 2 e - 2 t - 1 2 - t

É a solução da EDO😊

Resposta

y =   e t - 1 2 e - 2 t - 1 2 - t