Exercícios Resolvidos de EDOs Não-Homogêneas (Polinômios)

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Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial

2 y ' ' + 3 y ' + y = t 2

Passo 1

Opa, tudo joia?

A gente quer achar a solução geral da EDO, lembrando que a solução geral de uma EDO desse tipo é dada por:

y = y h +   y p

Onde y h é a solução homogênea, e y p é a solução particular.

Vamos encontrar primeiro a solução homogênea, beleza?

Passo 2

A EDO homogênea aqui é: 2 y ' ' + 3 y ' + y =   0 .

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Então, y ' ' passa a ser r 2 , y ' passa a ser r 2 e y é o termo independente.

2 r 2 + 3 r + 1 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o ∆   =   b 2 - 4 a c   e utilizaremos a fórmula de Bhaskara r = - b ± ∆ 2 a .

Sendo que a = 2 , b = 3   e c = 1 .

∆   =   b 2 - 4 a c

∆   =   3 2 - 4 2 1

∆   =   1

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = - b ± ∆ 2 a

r = - 3 ± 1 2 ( 2 )

r = - 3 ± 1 4

r 1 = - 3 - 1 4 = - 1

e

r 2 = - 3 + 1 4 = - 1 2

Passo 3

Como temos duas raízes reais, a solução da EDO homogênea será:

y h =   C 1 e r 1 t +   C 2 e r 2 t

y h =   C 1 e - t +   C 2 e - 1 2 t

Ótimo! Vamos ver a particular agora!

Passo 4

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y p = A + B t + C t 2  

Já que do outro lado temos t 2 , que é um polinômio de 2º grau.

Derivando y p :

y ' p = B + 2 C t

y ' ' p = 2 C

Substituiremos y p na EDO original do nosso problema, para assim, determinar as constantes A, B e C.

Passo 5

Resgatando nossa EDO:

2 y ' ' + 3 y ' + y = t 2

2 y ' ' p + 3 y ' p +   y p =   t 2

Substituindo...

2 ( 2 C ) + 3 ( B + 2 C t ) + ( A + B t + C t 2 ) =   t 2

Fazendo as multiplicações e organizando tudo:

( A + 3 B + 4 C ) + ( B + 6 C ) t + C t 2 =   t 2

Para manter a igualdade,

A + 3 B + 4 C = 0

B + 6 C = 0

C = 1

Com isso, resolvendo o sistema

A = 14                         B =   - 6                       C = 1

Logo,

y p = 14 - 6 t + t 2  

Passo 6

A solução da nossa EDO então será:

y = y h +   y p

y =   C 1 e - t +   C 2 e - 1 2 t +   14 - 6 t + t 2

Prontinho! 😉

Resposta

y =   C 1 e - t +   C 2 e - 1 2 t +   14 - 6 t + t 2