Exercícios Resolvidos de EDOs Não-Homogêneas (Polinômios)

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Enunciado

Resolva a equação diferencial usando

  1. Coeficientes indeterminados e
  2. Variação de parâmetros.

y ' ' - 2 y ' - 3 y = x + 2

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos começar pelo método dos coeficientes indeterminados. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero.

A solução geral vai ser a soma da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' - 2 y ' - 3 y = 0

E a equação característica associada é:

r 2 - 2 r - 3 = 0

E solução vai ser dada pela fórmula de Bháskara:

k = - ( - 2 ) ± ( - 2 ) 2 - 4.1 . - 3 2.1 = 2 ± 16 2 = 1 ± 2 ,   k 1 = 3 ,   k 2 = - 1

Aqui a solução homogênea vai ser uma combinação de exponenciais:

y h = c 1 e 3 x + c 2 e - x

Passo 3

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função G x é G x = x + 2 , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução é um polinômio de ordem um:

y p = A x + B

Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função y p , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?

As derivadas vão ser:

y p ' x = A

y p ' ' x = 0

Resgatando a equação diferencial temos:

y p ' ' - 2 y p ' - 3 y p = x + 2

Passo 4

Agora substituindo y p ,   y p '   e y p ' ' na equação diferencial temos:

0 - 2 A - 3 A x + B = x + 2

Reorganizando os termos temos:

x - 3 A + - 2 A - 3 B = x + 2

Igualando os coeficientes dos dois lados ficamos com o seguinte sistema:

- 3 A = 1 - 2 A - 3 B = 2

Daí tiramos os valores de A   e B :

A = - 1 3 ,       B = - 4 9

E a solução particular é:

y p x = - 1 3 x - 4 9

E a solução geral vai ser:

y x = c 1 e 3 x + c 2 e - x - 1 3 x - 4 9

Passo 5

Agora vamos resolver pelo método da variação de parâmetros.

Esse método consiste no seguinte: determinado duas soluções para a equação diferencial homogênea associada y 1 e y 2 , supõe-se que a solução particular vá ser uma combinação linear com parâmetros variáveis, dessa forma:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

O sistema de equações que essa solução deve satisfazer, a saber, formam o seguinte sistema:

a u 1 ' y 1 + u 2 ' y 2 = G u 1 ' y 1 + u 2 ' y 2 = 0

Onde a é o coeficiente de y ' ' e G é a função que dá origem a solução particular. Resolvendo esse sistema de equações chegamos as seguintes equações para u 1 ' e u 2 ' :

u 1 ' = - G y 2 a ( y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' ) ,     u 2 ' = - G y 1 a ( y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' )  

E depois é só fazer a integração.

Passo 6

No nosso caso y 1 = e 3 x e y 2 = e - x (pela solução homogênea).

E as derivadas são y 1 ' = 3 e 3 x e y 2 ' = - e - x . E G = x + 2 e também a = 1 .

Então podemos calcular o denominador:

y 1 y 2 ' - y 2 y 1 '

= e 3 x . - e - x + e - x . 3 e 3 x

= - 4 e 2 x

Assim u 1 ' fica:

u 1 ' = - G y 2 a y 1 y 2 ' - y 2 y 1 '

= - x + 2 e - x - 4 e 2 x

= x 4 e - 3 x + 1 2 e - 3 x

Passo 7

E integrando em relação a x temos:

u 1 = ∫ x 4 e - 3 x + 1 2 e - 3 x d x

A primeira parte da integral será resolvida por partes, e a segunda, por integração direta:

∫ x 4 e - 3 x   d x = 1 4 ∫ x e - 3 x   d x

Fazendo u = x   e   d v = e - 3 x , teremos d u = d x   e   v = - e - 3 x 3 :

∫ u   d v = u ⋅ v - ∫ v   d u

∫ x e - 3 x   d x = - x e - 3 x 3 - ∫ - e - 3 x 3 ⋅ d x

= - x e - 3 x 3 + 1 3 ∫ e - 3 x   d x

= - x e - 3 x 3 - 1 3 ⋅ e - 3 x 3  

= - x e - 3 x 3 - 1 9 e - 3 x

Passo 8

E então:

∫ x 4 e - 3 x   d x = 1 4 ∫ x e - 3 x   d x = 1 4 - x e - 3 x 3 - 1 9 e - 3 x

= - x 12 e - 3 x - 1 36 e - 3 x  

E temos que:

∫ 1 2 e - 3 x   d x

1 2 e - 3 x - 3 =   - 1 6 e - 3 x

Juntando tudo então temos:

u 1 = - x 12 e - 3 x - 1 36 e - 3 x - 1 6 e - 3 x

E já vou calcular aqui u 1 y 1 pois vai ser útil depois!

u 1 y 1 = - x 12 - 7 36

Passo 9

Pronto, agora vamos calcular u 2 e posteriormente u 2 y 2 .

Da fórmula para u 2 ' do passo anterior temos:

u 2 ' = - G y 1 a y 1 y 2 ' - y 2 y 1 '

= x + 2 e 3 x - 4 e 2 x

= - x 4 e x - 1 2 e x

E integrando em relação a x temos:

u 2 = ∫ - x 4 e x - 1 2 e x d x

Vamos integrar da mesma forma da outra integral, e temos:

= - 1 4 . x e x + 1 4 ∫ e x d x - 1 2 . e x

Assim temos:

u 2 = - x e x 4 - e x 4

E o valor de u 2 y 2 pois vai ser:

u 2 y 2 = - x 4 - 1 4

Passo 10

Pronto! Agora vamos juntar os resultados dos passos anteriores e determinar a solução particular.

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2 = - x 12 - 7 36 - x 4 - 1 4

= - x 3 - 4 9

E a solução completa vai ser:

y = y h + y p = c 1 e 3 x + c 2 e - x - 1 3 x - 4 9

E é a mesma solução encontrada pelo outro método! 😊

Resposta

y x = c 1 e 3 x + c 2 e - x - 1 3 x - 4 9